Строительство и архитектура \ Сопротивление материалов

Мультимедійний курс лекцій з опору матеріалів, страница 34

Раніше приведенням розподілених сил до центру і центральних осей було отримано інтегральне співвідношення, що пов’язує крутний момент з дотичними напруженнями:

Mz

dz

z

Дотичне напруження довільного напрямку в кожній точці площині поперечного перерізу можна розкласти по двох інших напрямах, а саме, по радіусу , що з'єднує точку з центром ваги перерізу, і по перпендикуляру до цього радіусу. Момент щодо центральної осі z буде створювати лише друга компонента, позначається одним символом . Тоді:

Mz

K1

z

dφ

K

Mz

З цього співвідношення знайти напруження за відомим крутним моментом поки не можна, оскільки закон зміни напружень по радіусу перерізу невідомий.

dz

2. Геометрія: Відповідно до гіпотези плоских перерізів при своєму повороті перерізи залишаються плоскими (справедливо лише для круглих перерізів). Наступне допущення полягає в тому, що всі радіуси перерізу залишаються прямими і повертаються на один і той самий кут (кут закручування).

Отримана формула показує, що дотичні напруження лінійно залежать від відстані розглянутого волокна до центральної осі і приймають Максимальні значення при  =max:

Кут закручування двох суміжних перерізів відрізняється на величину dφ.

3. Фізика: По закону Гука при зсуві:

Кут зсуву в будь-якій точці перерізу, що знаходиться на відстані ρ від центральної осі, рівний відношенню довжини дуги КК1 до dz:

Підставляємо в інтеграл:

Умова міцності при крученні: [τ] - допустиме дотичне напруга матеріалу стрижня, Wρ - полярний момент опору:

Підставляємо у вираз для напружень:

Довжина дуги KK1:

66

Лекція 16 (продовження – 16.3)

  • Аналіз напруженого стану при крученні - За законом парності дотичних напружень отримана формула для дотичних напружень, що виникають в поперечному перерізі, одночасно визначає дотичні напруження в площині, перпендикулярній подовжньому діаметральному перерізу:

Кожен прямокутний елемент матеріалу відчуває напружений стан чистого зсуву.

  • Визначення кутів закручування - При виведенні формули дотичних напружень
  • при крученні була отримана диференціальна залежність:

Кут закручування визначається з цього диференціального співвідношення інтегруванням лівої і правої частини: де 0 – кут повороту при z = 0.

z

Mz

Mz

В частковому випадку при постійному моменті Mz, постійнійжорсткості GIp і нерухомому перерізі на початку координат(φ0 = 0) отримуємо:

Цією формулою можна користуватися при визначенні кута для валу постійного або ступінчастого постійного перерізу, навантаженого зосередженими моментами. При цьому на кожній з ділянок, на якому крутний момент та жорсткість постійні, кут закручування змінюється за лінійним законом. Як випливає із загальної формули визначення кута закручування, при побудові епюри кутів закручування ординати епюри відкладаються від рівня попереднього кута закручування, тобто будуються наростаючим способом, враховуючи кут закручування попередньої ділянки.

2

1

Приклад: Побудувати епюру кутів закручування для стержня навантаженого зосередженими моментами : M1=5M, M2=4M, де M – параметр навантаження, Ip2/Ip1 = 2.

1. Переріз I-I (0 < z1< l):

2. Переріз II-II (0 < z2< l):

Розрахунки на жорсткість - Вали машин зазнають змінного (динамічного) навантаження. При малій жорсткості валів можуть виникати небажані крутильні коливання. Тому, крім умов міцності повинні виконуватися умови жорсткості, що обмежують величину максимального кута закручування, поділеного на довжину (погонного кута закручування):

67

Лекція 16 (продовження – 16.4)

  • Основні результати теорії кручення стержнів прямокутного перерізу - При розгляді деформацій кручення стержнів круглого перерізу використовувалася гіпотеза плоских перерізів. При крученні стержнів прямокутного перерізу виникає депланація перерізу - точки плоского до деформації поперечного перерізу додатково переміщуються з цієї площини по деякому нелінійному закону:

Скачать файл