Товарное хозяйство – нелинейная динамическая система, страница 23

На ограниченность формальной логики указывают апории - утверждения, противоречащие опыту (например, апории Зенона: «Ахилл и черепаха», «стрела» и др.), а также математические теоремы  Гёделя о полноте и неполноте систем аксиом.

Основанная Аристотелем формальная логика сегодня называется традиционной формальной логикой. Она занимала господствующее положение в науке до начала ХХ века.  

Со временем разработанная философами формальная логика стала не устраивать, в первую очередь, математику. Математики предприняли попытку разработать свою логику, математическую (символьную) логику, свести рассуждения к вычислениям.

6.2. Математическая логика

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) – раздел математики, посвящённый изучению математических доказательств и вопросов оснований математики. Математическая логика исследует знаки-символы.

Идея построения универсального языка математики и формализации на его базе математических доказательств выдвигалась в 17 в. Лейбницем. Он хотел каждому понятию дать численную характеристику (составить своего рода «словарь» чисел-понятий) и установить такие правила оперирования с этими числами (грамматику), которые позволили бы не только доказывать все истины, доступные логическому доказательству, но и открывать новые. Он мечтал заменить человеческий мозг (мышление) вычислительной машиной. Фактически работы по алгебраизации аристотелевой логики появились только в середине 19 в. (Буль, 1847; де Морган, 1858). После того как Фреге (1879) и  Пирс (1885) ввели в язык алгебры логики предикаты (логическое сказуемое), предметные переменные и кванторы (логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов), возникла реальная возможность применить этот язык к вопросам оснований математики.

В совместном труде Рассела и Уайтхеда «Принципы математики» (1910) была предпринята попытка сведения всей математики к логике, которая не увенчалась успехом, так как оказалось невозможным вывести из чисто логических аксиом существование бесконечных множеств.

На рубеже 19 - 20 вв. были обнаружены антиномии (парадоксы), связанные с основными понятиями теории множеств. Стало ясно, что нужно как-то ограничить канторовскую теорию множеств. Брауэр (1908) выступил против применения правил классической логики к бесконечным множествам.  

Гильберт предложил путь преодоления трудностей, основанный на применении аксиоматического метода (метода системы аксиом) рассмотрения формальных моделей математики и на исследовании вопросов непротиворечивости таких моделей финитными средствами. Гильберт предпринимает попытку пересмотра евклидовой геометрии, освобождения её от обращения к интуиции. Фактически им был поставлен вопрос; «Самодостаточна ли математика?». Задача, поставленная Гильбертом, сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом как базовых утверждений, принимаемых за основу без доказательств,  совершенна и полна, то есть позволяет математически описать все сущее. Требовалось доказать, что можно задать такую систему аксиом, которые будут не только взаимно непротиворечивыми, но позволят также выводить умозаключения относительно истинности или ложности любого утверждения. Это была дерзкая и грандиозная задача.

Однако в 1931 австрийский математик Курт Гёдель доказал теоремы о полноте и неполноте, которые фактически похоронили идею Гильберта. Теорема о полноте гласила, что если система аксиом полна, то она противоречива, то есть в ней можно доказать любое утверждение, включая противоположные (требование полноты несовместимо с требованием непротиворечивости). Из нее следовал единственно разумный выход – принятие неполной системы аксиом. Но первая (слабая) теорема о неполноте утверждает, что такая система аксиом содержит неразрешимые, недоказуемые истинные или ложные утверждения, а вторая (сильная) теорема о неполноте  утверждает, что логическая полнота или неполнота любой системы аксиом не может быть доказана в ее рамках. Для этого необходимы дополнительные аксиомы, то есть система аксиом более высокого уровня.