Изучение методов решения разнообразных задач, возникающих при передаче информации от ее источника к получателю, страница 35

 

5.5. Помехоустойчивость оптимального приема детерминированных

 сигналов

Определим потенциальную помехоустойчивость двоичной системы с аддитивным белым шумом, когда при приеме точно известны оба ожидаемых сигнала  и , полагая, что априорные вероятности сигналов одинаковы.

Алгоритм оптимального приема в этом случае имеет вид:

.

При выполнении неравенства реализуется символ 1, в противном случае – 0. Допустим, передавался символ 1 (сигнал ). Тогда вероятность ошибки  определится вероятностью выполнения неравенства

,

которое легко сводится к неравенству

.                                    (5.12)

Аналогичное выражение получается и при передаче символа 0, т.е. , а дискретный канал является симметричным. Последнее выражение перепишем в виде

,                                                                                    (5.13)

где  – случайная составляющая сигнала на входе решающего устройства;

 – энергия разностного сигнала.

Если  – гауссовский стационарный белый шум с нулевым средним и двусторонней спектральной плотностью мощности , то  также распределена по гауссовскому закону, т.к. формируется из  линейным преобразованием. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины :

;

Так как  распределена по гауссовскому закону, то вероятности ошибки, равная вероятности выполнения неравенства (5.13),

(5.14)

где  – табулированный интеграл вероятности.

Как видно из (5.14), помехоустойчивость определяется разностной энергией , равной квадрату расстояния между сигналами в пространстве Гильберта, и спектральной плотностью белого шума. Помехоустойчивость не зависит от формы сигнала.

На рис 5.7 приведено геометрическое представление сигналов двоичной системы.

 

Из рисунка видно, что в системе с АМ , и тогда

,    где ;                    (5.15)

в системе с ЧМ  и

;                                                (5.16)