Исследование функций. Приложение производной, страница 9

 ,

где a< c< x. Тогда, очевидно, если x® a,  то и c® a, поэтому из предыдущего равенства имеем:

.

Теорема  доказана.

Таким образом, доказанное правило Лопиталя, сводит предел отношения функций к пределу отношений производных, если последний существует. Часто оказывается, что нахождение предела отношения производных проще и его можно найти элементарными способами.

Найдем несколько пределов с помощью доказанной теоремы.

1. Найти предел:

Нетрудно видеть, что  и , т. е. мы имеем неопределенность вида . Можно воспользоваться правилом Лопиталя, согласно которому искомый предел равен пределу отношения производных. Таким образом, получаем:

2.  Найти  предел:

3.  Найти  предел:

.

Замечание 1. Иногда правило Лопиталя нужно применять несколько раз. Это необходимо в том случае, когда после применения правила Лопиталя неопределенность  остается. В качестве примера рассмотрим вычисление следующего предела.

4.  Найти предел:

Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять и в том случае, когда аргумент х стремится не к конечному числу, а к бесконечности, т.е. если  функции f (x)  и   g (x) дифференцируемы на промежутке (a, +¥) ,  то имеет место равенство: