Исследование функций. Приложение производной, страница 10

если существует предел, стоящий справа.

5.2. Неопределенность типа

Если   и , то при вычислении предела отношения этих функций мы имеем дело с неопределенностью вида . Заметим, что здесь  может быть как конечным числом, так и бесконечностью. Для вычисления этих пределов справедливо то же правило Лопиталя, которое мы приведем без доказательства.

Теорема. Если функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы на промежутке [a, b], g¢ (x)¹ 0  и ,  и если существует предел отношения производных, т. е. , то существует  и он также равен A.

Теорема остается справедливой и в том случае, когда  стремится к бесконечности.

Рассмотрим некоторые примеры.

5.  Найти предел

Отсюда в частности следует, что функция g (x)= x^e , при любом положительном e стремится к бесконечности быстрее, чем функция f (x)= ln x, т. е. функция логарифм возрастает медленнее, чем любая степенная функция.

6. Найти  предел       

.

Если , то справа имеем неопределенность того же типа , но продолжая этот процесс, используя то же правило Лопиталя, в конце концов, получим степень с отрицательным или нулевым показателем. Поэтому всегда         .