Исследование функций. Приложение производной, страница 18

8.2. Исследование экстремума функции с помощью второй производной.

При нахождении экстремумов исследование знака производной вблизи стационарной точки можно исследованием знака второй производной в самой стационарной точке.

Справедливо утверждение:

Теорема: Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки , если f² (x₀)> 0, то функция имеет минимум, если же f² (x₀)< 0, то - максимум.

Доказательство. Пусть функция f (x) не только имеет производную f¢ (x) в окрестности стационарной точки x₀, но и вторую производную f² (x₀) в самой точке x₀. Точка x₀ - стационарная, следовательно f¢ (x₀)= 0. Если f² (x₀)>0, то функция g (x)= f¢ (x) возрастает, т. е. вблизи точки  слева f¢ (x)< f¢ (x₀)= 0, а справа f¢ (x)> f¢ (x₀)= 0. Таким образом, производная f¢ (x) меняет  знак с “-” на “+” и, следовательно, f (x), согласно п.1.8.1, имеет  минимум. Совершенно аналогично можно показать, что если         f² (x₀)< 0, то f¢ (x) в точке x₀ меняет знак плюс на минус, т.е. в точке x₀ - максимум.

Теорема доказана.

Приведем некоторые примеры исследований функций на экстремум.

Пример 1. Найти экстремум функции:

f (x)= 2x³ - 15x² + 36x - 14

Так как f¢ (x) = 6x² -30x +36= 6(x-2) (x-3), то стационарные точки x= 0 и x= 3. Экстремумы функции могут быть только в этих точках. При переходе через x= 2 производная меняет знак “+” на “-”, следовательно, в этой точке функция имеет максимум.