Исследование функций. Приложение производной, страница 18

8.2. Исследование экстремума функции с помощью второй производной.

При нахождении экстремумов исследование знака производной вблизи стационарной точки можно исследованием знака второй производной в самой стационарной точке.

Справедливо утверждение:

Теорема: Пусть функция f (x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки , если f² (x0)> 0, то функция имеет минимум, если же f² (x0)< 0, то - максимум.

Доказательство. Пусть функция f (x) не только имеет производную f¢ (x) в окрестности стационарной точки x0, но и вторую производную f² (x0) в самой точке x0. Точка x0 - стационарная, следовательно f¢ (x0)= 0. Если f² (x0)>0, то функция g (x)= f¢ (x) возрастает, т. е. вблизи точки  слева f¢ (x)< f¢ (x0)= 0, а справа f¢ (x)> f¢ (x0)= 0. Таким образом, производная f¢ (x) меняет  знак с “-” на “+” и, следовательно, f (x), согласно п.1.8.1, имеет  минимум. Совершенно аналогично можно показать, что если         f² (x0)< 0, то f¢ (x) в точке x0 меняет знак плюс на минус, т.е. в точке x0 - максимум.

Теорема доказана.

Приведем некоторые примеры исследований функций на экстремум.

Пример 1. Найти экстремум функции:

f (x)= 2x3 - 15x2 + 36x - 14

Так как f¢ (x) = 6x2 -30x +36= 6(x-2) (x-3), то стационарные точки x= 0 и x= 3. Экстремумы функции могут быть только в этих точках. При переходе через x= 2 производная меняет знак “+” на “-”, следовательно, в этой точке функция имеет максимум.