Исследование функций. Приложение производной, страница 21

Таким образом, стационарные точки функции: x = -2 и x = 3. Вычисляем значения функции f (-3), f (-2), f (3), f (6) . Эти значения соответственно равны: f (-3) = 100, f (-2) = 36, f (3) = -89, f (6) = 100. Отсюда, наибольшее значение функции f (6) = 100, наименьшее – f (3) = -89.

9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение 1.  График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх ) в промежутке (a, b), если соответствующая часть кривой y = f (x), при xÎ(a, b) расположена выше касательной, проведенной в любой её точке M (x, f (x)), как это показано на рисунке.

 


Определение 2. График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз ) в промежутке (a,b), если соответствующая часть кривой y = f (x) расположена ниже касательной, проведенной к любой точке M (x, f (x)), как это показано на рисунке.

Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости графика функции можно использовать следующее утверждение.

Теорема 1. 1) Если для дважды дифференцируемой функции         y = f (x) вторая ее производная f² (x) положительна внутри промежутка (a, b), то график этой функции выпуклый вниз  в данном промежутке.

2) Если же вторая производная f²(x) отрицательна, внутри промежутка (a, b), то график функции y= f (x) вогнутый вверх  в данном промежутке.