Исследование функций. Приложение производной, страница 23

Отсюда следует, что при любом  из интервала (a,b) график функции y = f (x) расположен выше своих касательных, т. е., график  функции   y = f (x)    является выпуклым вниз на этом интервале.

Вторая часть теоремы доказывается совершенно аналогично.

Теорема доказана.

Определение 3. Точкой перегиба графика дифференцируемой функции y = f (x) называется такая его точка, при переходе через которую, кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот, выпуклость на вогнутость.

Для нахождения точек перегиба можно воспользоваться следующим утверждением.

Теорема 2. Если для функции y = f (x) ее вторая производная f² (x) в точке x₀  обращается в нуль (или не существует) и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка графика M₀ (x₀, f (x₀)) является точкой перегиба.

Доказательство. Предположим, что вторая производная f²  в точке M₀  обращается в нуль и меняет свой знак с плюса на минус. Тогда левее точки M₀  вторая производная положительна и, следовательно, по теореме 1 график функции - выпуклая вниз кривая, а правее - вторая производная отрицательна и следовательно график функции выпуклый вверх. Таким образом, в точке M₀ кривая меняет вогнутость на выпуклость и, следовательно, точка - точка перегиба графика этой функции. Теорема доказана.

10. Асимптоты графика функции и их нахождение.

Рассмотрим функции, которые могут стремиться к  +¥  или к -¥ при стремлении  к некоторому значению  с одной или другой стороны. Кроме того, рассмотрим функции, заданные на бесконечном интервале. Так как размеры чертежа конечны, то в обоих этих случаях мы довольствуемся только частью графика и представление обо всем графике получается из того, что изображено на этой части. Как правило, в этом случае график стремится к некоторой прямой и эта прямая дает отчетливое представление о виде графика за его пределами. Эти прямые могут быть вертикальными, наклонными, горизонтальными. В связи с вышесказанным полезно следующее определение.