Исследование функций. Приложение производной, страница 5

                                      (5.8)

такой, что значение функции f (x) и многочлена Pn (x), а также все производные до –ой включительно функции f (x) и многочлена Pn (x) в точке x0 совпадают. Другими словами выполняются равенства:

                                                                         (5.9)

Используя равенства (5.9), найдём коэффициенты A0, A1, …, An многочлена Pn (x), определяемого соотношением (5.8). Из первого равенства (5.9) получаем:

                                                f (x0) = A0.                                        (5.10)

Так как

то из второго равенства (5.9) имеем:

                                                A1 = f¢ (x0).                                       (5.11)

Аналогично получаем:

                                       .        

Используя равенства (5.10), (5.11), (5.12), многочлен (5.8) можно записать следующим образом:

      (5.13)

Значения функции f (x) и n её производных в точке x0 равны соответственно значению многочлена, определённого равенством (5.13) и его производными в точке x0. Многочлен Pn (x), определённый равенством (5.13), называют многочленом Тейлора.

Совершенно очевидно, что нельзя утверждать равенство       f (x)= Pn (x). Многочлен Pn (x) даёт лишь некоторое приближение функции f (x). Разность между функцией и её многочленом Тейлора обозначим rn (x), т.е.