Исследование функций. Приложение производной, страница 13

Определение 4. Функция y= f (x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a, b), если при любых x₁, x₂ Î(a; b), x₂ > x₁, всегда выполняется неравенство      f (x₂ ) £ f (x₁).

Выясним, каким образом по производной можно судить о возрастании или убывании функции в заданном промежутке. Теоремы, сформулированные и доказанные ниже, позволят с помощью производной функции найти участки возрастания, убывания функции.

Теорема 1.Если функция f (x) определена и непрерывна на интервале (a, b), имеет конечную производную f¢ (x) и возрастает, то ее производная на этом интервале не отрицательна, т.е. f¢ (x) ³ 0, для любого xÎ(a, b).

Доказательство: Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы. Предположим, что  произвольная точка отрезка (a, b) и Dx >0 -произвольное приращение, такое, что x+Dx Î(a; b), тогда так как f (x)-возрастающая, то f (x+Dx)- f (x) ³ 0, и в пределе при Dx® 0, получим     f¢ (x) ³ 0. Теорема доказана.

Теорема 2. Если функция f (x) определена на интервале (a, b) и имеет на этом интервале конечную неотрицательную производную f¢ (x) ³ 0, то функция f(x) возрастает на интервале (a, b).

Доказательство: Пусть x₁, x₂ (x₂ > x₁), - две произвольные точки интервала (a, b). Применим теорему Лагранжа к функции f (x) на отрезке [x₁, x₂], получим f (x₂)- f (x₁)=    = f¢ (c)×(x₂-x₁),  x₁< c<x₂. Так как f¢ (c) ³ 0, то f (x₂) ³ f (x₁), т.е. функция f (x) возрастает на интервале (a, b). Теорема доказана.