Исследование функций. Приложение производной, страница 24

Определение. Пусть имеется график, ветвь которого в том или ином направлении удаляется в бесконечность; тогда, если расстояние  от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

10.1. Вертикальные асимптоты

Если  или  ,то прямая x = x₀ - называется вертикальной асимптотой графика функции f (x). Например, прямая x = 0 является вертикальной асимптотой графиков функций  и , так как ,  и  . График функции tg x имеет бесконечно много вертикальных асимптот: каждая из прямых  является асимптотой.

Отсюда вытекает правило нахождения вертикальных асимптот. Первоначально находятся точки x₁, x₂, … x_k , в которых функция f (x) неопределена, а затем вычисляются всевозможные односторонние пределы функции f (x) в этих точках, а именно, вычисляются пределы  и . Если по крайней мере один из этих пределов равен  +¥  или -¥ , то прямая  является вертикальной асимптотой.

10.2. Горизонтальные и наклонные асимптоты.

Предположим, что график функции y = f (x) имеет наклонную асимптоту

Y = k x+ b                                                  (10.1)

в направлении положительной оси , как это изображено на рисунке