Исследование функций. Приложение производной, страница 16

Теорема (необходимое условие экстремума).

 Если непрерывная и дифференцируемая во всех точках некоторой окрестности точки x₀ , за исключением, быть может, самой точки x₀, функция f (x) достигает экстремума в точке x₀ , то ее производная в точке x₀ либо равна нулю, либо не существует.

Таким образом, только в точках, в которых производная равна нулю либо производная не существует, следует ожидать появления экстремума функции. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, будем называть стационарными.

8.Достаточные условия экстремума.

Итак, если точка - стационарная точка для функции f (x), то точка  является всего лишь «подозрительной» на экстремум и подлежит дальнейшему исследованию. Эти исследования состоят в проверке достаточных условий существования экстремума, которые будут установлены ниже.

8.1 Исследование экстремума функции с помощью первой производной.

Пусть в некоторой окрестности (x₀-d, x₀+d) точки, (за исключением быть может точки x₀) существует конечная производная f¢ (x) и слева от x₀ , так и справа от x₀ сохраняет определенный знак.

Тогда возможны случаи:

1) f¢ (x)> 0 при x< x₀ и f¢ (x)< 0 при x> x₀, т.е. производная f¢ (x) при переходе через точку  меняет знак “+” на “-’’. Это означает, что в промежутке (x₀-d, x₀) функция   f (x) возрастает, а в промежутке (x₀ , x₀+d) убывает, следовательно, значение  f (x₀) будет наибольшим для функции f (x) в промежутке (x₀-d, x₀+d) т.е. в точке  функция имеет максимум.