Исследование функций. Приложение производной, страница 7

6. 

7. 

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Рассмотрим формулу Тейлора (Маклорена)  с остаточным членом в форме Лагранжа, где вместо c будем писать qx, 0<q<1. Тогда эта формула будет иметь вид:

.(5.17)

Если в формуле (5.17) отбросить остаточный член, то получится приближенная формула:

,

заменяющая функцию сложной природы многочленом. Сейчас мы можем оценить погрешность этой формулы. Погрешность по абсолютной величине равна отброшенному члену. В частности, если -я производная ограничена по абсолютной величине числом , то         .

Если , то приближенная формула здесь имеет вид:

и остаточный член r_n (x)  в этом случае определяется равенством:          .

Таким образом, при x> 0 погрешность оценивается так:

.

Для x= 1 имеем:

;          .

Если , то

.

Остаточный член в этом случае имеет вид:

и погрешность оценивается легко:      .