Исследование функций. Приложение производной, страница 22

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть f² (x)> 0, при любом  из интервала (a, b), и пусть x₀ произвольная точка из этого интервала. Через точку M₀ (x₀, f (x₀)) графика функции         y = f (x) проведем касательную . Как известно, уравнение этой касательной задается уравнением

                                         (9.1)

Сравним в точке xÎ(a, b) ординаты кривой y = f (x) и касательной , для этого рассмотрим разность .

Используя (9.1), имеем:

                        (9.2)

По теореме Лагранжа справедливо равенство:

,

где  с  лежит между x и x₀  и поэтому из (9.2) получаем:

                                     (9.3)

Используя еще раз теорему Лагранжа, имеем:

,

где с₁ лежит  между с и x₀ , поэтому из (9.3) имеем:

                                        (9.4)

По условию теоремы  f² (c₁)> 0. Если , то также и, следовательно, (x-x₀) (c-x₀) > 0, т. е., и в этом случае d > 0. Таким образом, при  всегда имеем:

, т.е.  y > y₀                                          (9.5)