Исследование функций. Приложение производной, страница 17

2) f¢ (x) < 0 при  и f¢ (x)> 0 при , т.е. производная f¢ (x) при переходе через точку  меняет знак “-” на “+’’. В этом случае легко убедиться, что в точке  функция имеет минимум.

3) f¢ (x)> 0 как при x< x₀ так и при x> x₀ либо же f¢ (x)< 0 и слева и справа от , т.е. при переходе через x₀   f¢ (x) не меняет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точке  никакого экстремума нет.

Итак, мы получили достаточное условие для исследования экстремума функции.

Если точка - подозрительная на экстремум для функции f (x), то подставляя в производную f¢ (x) сначала x< x₀, а затем x> x₀, устанавливаем знак производной вблизи от точки x₀  слева и справа от нее; если при этом производная f¢ (x) меняет знак плюс на минус, то в точке  функция имеет максимум, если меняет знак минус на плюс, то имеем минимум; если же знак не меняет, то экстремума вовсе нет.

Данное правило полностью решает вопрос в том случае, когда на интервале (a, b) всего лишь конечное число стационарных точек. Пусть x₁, x₂,…, x_n                (x₁< x₂< … < x_n) стационарные точки f (x). Тогда в любом промежутке (a, x₁), (x₁, x₂), …, (x_n, b) существует производная f¢ (x), сохраняющая постоянный знак. Рассматривая соседние промежутки и применяя достаточные условия экстремума функции легко определить, есть, или нет экстремума в каждой из точек x₁, x₂ , …, x_n .