Исследование функций. Приложение производной, страница 14

Совершенно аналогично доказываются нижеследующие утверждения.

Теорема 3. Если функция f (x) определена  на  интервале (a, b), имеет конечную производную f¢ (x) и убывает, то ее производная на этом интервале неположительна, т.е. f¢ (x)£ 0, для любого xÎ(a, b).

Теорема 4. Если функция f (x) определена на интервале (a, b) и имеет на этом интервале конечную положительную производную f¢ (x)£ 0, то функция f (x) убывает на интервале (a, b).

Замечание. Отметим, что функция монотонно возрастает (убывает), если производная функции f¢ (x)³ 0,(f¢ (x)£ 0) и нет целого промежутка, на котором f¢ (x) тождественно равна нулю.

7. Экстремум функции. Необходимое условие

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке   [a, b].

Определение 1. Если функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то говорят, что она достигает в точке x₀ Î(a, b) максимума (минимума), если существует окрестность точки (x₀-d, x₀+d), (целиком содержащаяся в отрезке [a, b]) такая, что для всех точек xÎ(x₀-d, x₀+d) этой окрестности выполняется неравенство f (x)£ f (x₀)  ( f(x)³ f (x₀)).

Определение 2. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Наша цель – нахождение всех значений аргумента, при которых функция достигает экстремума. В решении этой задачи основную роль играет производная. Первоначально предположим, что функция f (x) в интервале (a, b) имеет конечную производную. Пусть точка x₀, x₀Î(a, b), , является точкой экстремума функции. Найдем производную в этой точке. Не уменьшая общности можно предположить, что в точке x₀ функция f (x) достигает максимума.     Согласно определению, найдется окрестность (x₀-d, x₀+d) точки x₀, для всех точек которой выполняется неравенство