Теория линейных цепей. Мостовая цепь. Теорема об эквивалентном генераторе. Матричная теория линейных четырёхполюсников. Физическая осуществимость цепей

Глава  3.       Теория линейных цепей.

Будем считать параметры цепей  и  постоянными величинами и на начальном этапе анализа использовать символический метод. Обсудим сначала некоторые общие особенности цепей, получим общие формулы, а затем перейдём к рассмотрению конкретных примеров цепей, которые находят широкое применение.

3.1.  Мостовая цепь.

На этом примере, рис. 3.1, мы выясним некоторые общие закономерности и вспомним терминологию. Цепь имеет 6 ветвей, 4 узла, 7 различных контуров, но независимых всего три. Столько надо ввести независимых токов или напряжений, столько надо написать уравнений. Как определить число независимых контуров ? Приведём два распространённых правила: 1.  равно минимальному числу разрывов цепи, чтобы ликвидировать все замкнутые контуры. 2. . Для этого примера .

Напомним последовательность действий при составлении системы уравнений контурных токов.

1. Определяем число независимых контуров. В данном случае 3.

2. Выбираем три независимых контура и вводим три тока, . Каждый новый контур должен содержать какой-то новый элемент, который раньше не фигурировал. В результате, все элементы должны быть задействованы. Выбор контуров и направлений токов указан на приведённом рисунке.

3. Задаём положительные направления токов в каждом выбранном контуре. Часто рекомендуют выбирать направления обхода по часовой стрелке.

4. Задаём полярность генераторов (тоже условно) и рисуем у генераторов стрелки (от минуса к плюсу).

5. Составляем уравнения. Сумма падений напряжения на всех элементах контура, за счёт всех токов, должна равняться сумме ЭДС. При этом ЭДС суммируется со знаком плюс, если направления стрелок у генератора и у тока совпадают. В противном случае ставится минус.

Для данного примера получим следующую систему уравнений.              (3.1)
;.
Здесь: . Остальные равенства уже очевидны. Ещё короче записывают систему в матричном обозначении. , где  и  есть векторы (матрица столбец), а  - полная матрица сопротивлений (), образованная элементами . Элемент  называют собственным сопротивлением контура . Общий элемент двух контуров  называют сопротивлением связи этих контуров.

Поделим первое уравнение системы (3.1) на . Получим полное сопротивление первого контура в сложной цепи, как сумму собственного сопротивления и вносимого за счёт других контуров. .  есть собственное сопротивление первого контура. Всё остальное – вносимое. . Сопротивления  определяются только параметрами цепи и не зависят от токов. Вносимое сопротивление зависит и от токов.

3.1.1.  Решение системы.

Приведём сразу готовый результат из курса математики. Пусть  есть главный определитель системы (3.1). Если в цепи есть потери (электрическая энергия переходит в тепловую), то  и система (3.1) имеет единственное решение.  Определитель  получается из  заменой столбца с номером  вектором .

Рассмотрим 2 случая. 1. Пусть . Найдём . Здесь  - минор определителя . Минор  получается из  вычёркиванием строки с номером  и столбца с номером , на пересечении которых стоит элемент .

Отсюда следует, что  при условии «баланса» моста . Этим часто пользуются на практике. 2. Пусть теперь . Найдём . Покажите самостоятельно, что . Теперь  при «балансе».

3.1.2.  Обратимость цепи (взаимность).

Отметим одно очень важное общее свойство матрицы  системы (3.1). Для любой линейной (не содержащей зависимых генераторов) цепи . Это и есть проявление теоремы взаимности. Доказательство этой теоремы приводится в курсах электродинамики. В теории цепей это свойство просто отмечается и проверяется на примерах. Покажем теперь, что из приведённого равенства для элементов матрицы, следует равенство миноров . Сделаем это для рассмотренного примера. Доказательство в общем случае совершенно аналогично. . Сначала мы заменили строки столбцами, а затем учли равенства . Итак, для любой линейной цепи .

Для рассмотренного примера это даёт: . Говорят, что взаимное сопротивление контуров 1 и 2 не зависит от направления передачи энергии. Это свойство имеет место для любых двух контуров линейной цепи и формулируется часто следующим образом. Пусть мы имеем линейный пассивный четырёхполюсник. Назовём входной контур первым, а выходной – вторым. На рис. 3.2 изображены два варианта включения генератора и приведены необходимые обозначения. Например,  есть ток во втором контуре, когда источник находится в первом. Меняются местами только идеальные генератор и амперметр. Тогда: .                                                                            (3.2)

Это равенство и отражает взаимность или обратимость цепи. Доказывается оно в общем случае точно так же, как в приведённом примере.

3.2.  Теорема об эквивалентном генераторе.

Имеем активный линейный двухполюсник, нагруженный на сопротивление , рис. 3.3а. Требуется определить ток в нагрузке. Пусть  есть напряжение холостого режима () активного двухполюсника, а  - сопротивление этого двухполюсника, когда все внутренние источники выключены (пассивный двухполюсник). Теорема даёт простой ответ: .        (3.3)