Цифровые и логические устройства

Глава 8.   Цифровые и логические устройства

8.1. Логические функции.

Цифровые и логические устройства используются для обработки дискретных, цифровых сигналов. Прежде чем говорить непосредственно об устройствах, реализующих какой-то арифметический или логический алгоритм, мы должны обсудить коротко математическую основу работы названных устройств, и прежде всего логические функции. Затем мы рассмотрим способы возможной реализации простых логических устройств (элементную базу). В заключение, очень коротко, рассмотрим некоторые более сложные устройства без памяти и с памятью.

8.1.1. Различные системы счисления.

Дискретные (цифровые) сигналы представляют собой, фактически, таблицу значений функции с определенным шагом. Она храниться на любом носителе, часто в памяти ЭВМ. В какой системе счисления эти таблицы выгоднее хранить? Используются системы с основанием 2,3,8,10,16. Для первых четырех хватает обычных цифр 0,1,...9. Для последней добавляют еще буквы латинского алфавита A,B,C,D,E и F, которые обозначают цифры 10,11,12,13,14 и 15 соответственно. Мы привыкли к десятичной системе, и нам она кажется наиболее удобной.

Во всех системах используется позиционная форма записи чисел. Например, в десятичной, число . Выпишем это число в разных системах. . Какая система лучше? Чем больше основание системы, тем короче запись. Это одна тенденция. Теперь посмотрим на это с точки зрения объема хранимой информации и введем понятие числа состояний, которое определяется произведением основания на количество разрядов числа N. Например, цифровое табло с тремя десятичными разрядами имеет 30 состояний (3 индикатора по 10 цифр в каждом) и позволяет записать или запомнить любое десятичное число от 0 до 999. Число состояний для записи числа  в разных системах приведено в таблице ().

Основание системы	2	e	3	8	10	16
Приблизительное число состояний	20	-	20	26	30	36
«Точное» число состояний	19,9	18,8	18,9	26,6	30,0	39,9

Налицо другая тенденция. Чем больше основание системы (начиная с трех), тем большее число состояний необходимо для записи числа.

Можно легко сформулировать и решить задачу на экстремум. Пусть , где  есть основание, а  - число разрядов. Реально  принимает только целые значения, но мы предположим, что оно меняется непрерывно. При каком  будет минимум числа состояний  для заданного числа N? Ответ, . В самом деле, . Тогда . Пишем условие экстремума  (), откуда и следует результат. По этим формулам получено "точное" число состояний.

Ближе всего к  целое основание 3, но такая система не привилась, хотя попытки ее использовать были. Природа и люди выбрали двоичную систему, поскольку она очень близка к оптимальной и проще реализуется. Для записи двоичного числа нужно всего две цифры, а для хранения двоичного разряда, устройство с двумя устойчивыми состояниями - триггер.

Системы с основанием 8 и 16 очень тесно связаны с двоичной, так как , а . Они используются, в основном, для сокращенной записи двоичных чисел в литературе по ЭВМ. Например, . Группируя по 3 или по 4 двоичных разряда (справа налево), мы придем к указанным результатам.

8.1.2.  Алгебра логики (Булева алгебра).

Все арифметические действия в двоичной системе могут быть выражены с помощью логических, поэтому за основу и приняли алгебру логики - Булеву алгебру. Она дает бóльшую широту действий, давно и хорошо разработана. Логические переменные и функции принимают всего два дискретных значения: да, нет; истина (true), ложь (false); 0,1. Поэтому логические функции часто называют переключательными. Мы примем последнее обозначение для значений логических переменных и функций – 0,1.

Существуют две логические константы, 0 и 1. Одна логическая переменная  принимает два значения, 0 или 1. Две переменные  и  дают уже 4 набора,

	0  0  1  1
	0  1  0  1

 4 комбинации. Это изображают в виде таблицы.     
Три переменные дают 8 наборов. В общем, число    
наборов , где  - число переменных.

Число функций также ограничено. Для одной логической переменной  существуют всего 4 функции: . Черта сверху означает инверсию, а знак "=" - равенство, эквивалентность (иногда пишут ).

0   1	0    0    1    1    0    1    0    1

Соответствующая таблица выглядит так.

Для двух переменных мы будем иметь 16 функций, для трех - 256. В общем случае, . Чуть позже мы выпишем все 16 функций двух переменных.

Логические функции обычно задаются таблицей или аналитически. Например, одна из функций двух переменных . Табличное её задание.

	0  0  1  1
	0  1  0  1
	0  0  1  1