Теория линейных цепей. Мостовая цепь. Теорема об эквивалентном генераторе. Матричная теория линейных четырёхполюсников. Физическая осуществимость цепей, страница 3

Генератор напряжения с ЭДС  и сопротивлением  нагружен на 2^х-пол. ЭДС задано. Требуется найти ток в цепи (или ток задан, а требуется найти напряжение). Существуют два типичных варианта решения этой задачи.

Первый вариант классический. Составляется дифференциальное уравнение этой цепи (или система уравнений в более сложной ситуации) и оно решается относительно тока. Такой пример уже был рассмотрен во вводной части.

Второй называют спектральным методом. Он содержит следующие этапы.

1. Предполагая зависимость от времени , находим комплексные сопротивления 2^х-пол. и генератора,  и .

2. Находим спектр ЭДС .

3. Находим спектр тока .

4. Находим сам ток, , выполняя обратное преобразование Фурье. Никакого дифференциального уравнения составлять и решать на этом пути не надо.

Таким образом, комплексное сопротивление 2^х-пол. полностью его характеризует. Зная , можно определить ток в цепи при произвольном воздействии. Спектральный подход используется чаще при анализе цепей. Многочисленные примеры мы рассмотрим позже, для четырёхполюсников.

Теперь мы рассмотрим примеры 2^х-пол., которые очень часто встречаются в различных схемах.

3.4.2. Реальный индуктивный элемент.

Он изображён на рис. 3.7а. . Величину  называют постоянной времени цепи (она имеет размерность времени). Безразмерная величина  есть добротность индуктивного элемента на частоте  (фактически  есть угол). Обычно .  определяет отношение амплитуд напряжения и тока, а аргумент  даёт сдвиг фаз между ними. В индуктивном элементе ток отстаёт от напряжения. На рис. 3.7 изображены зависимости сопротивления от частоты и векторные диаграммы. При большой добротности угол  мал, . Его называют углом потерь.

3.4.3. Реальный ёмкостной элемент.

Он изображён на рис. 3.8а. Его проводимость . Сопротивление .  . Постоянная времени  (сек.), а добротность . Теперь ток опережает напряжение. Соответствующие зависимости и векторные диаграммы изображены на рис.3.8.  есть угол потерь.

3.4.4. Последовательный колебательный контур.

Оба реактивных элемента и сопротивление теперь включены последовательно, рис. 3.9а. Выпишем сразу разные выражения для сопротивления и приведём стандартные обозначения и термины.

.     (3.6) Здесь:  - резонансная частота;  - характеристическое сопротивление;  - добротность;  - безразмерная частота;  - обобщённая расстройка. Разность  есть абсолютная расстройка, а  - относительная. Если , то говорят, что расстройка мала. При этом . Часто .

В первую очередь, нас интересует поведение сопротивления  вблизи резонансной частоты , при малых расстройках. Эти зависимости приведены на рис. 3.9. На резонансной частоте сопротивление последовательного контура активно и минимально (), а ток  - максимален. При этом напряжение на реактивных элементах контура в  раз больше, чем на контуре в целом. Поэтому говорят о резонансе напряжений. Типичные векторные диаграммы для трёх частот приведены на рис. 3.10. Там же приведена зависимость тока в контуре от частоты. Ток уменьшается в  раз при расстройке , когда . При этом . Величину  называют полосой пропускания. Если , то .

3.4.5. Параллельный контур с идеальным конденсатором.

Схема контура изображена на рис. 3.11а. . Остальные обозначения в формулах такие же, как в пункте 3.4.4.  

.             (3.7)
Характерные зависимости от частоты приведены на рис. 3.11. Резонансная частота теперь не равна . Она определяется из равенства , т.е. . Однако, если , то отличие ничтожное. На резонансной частоте сопротивление параллельного контура активно и максимально. Оно равно   (При ).    (3.8)
При этом ток в контуре большой (), а в общей цепи в  раз меньше (). Поэтому иногда говорят о резонансе токов. Чаще используется другая терминология. Резонанс в последовательном контуре называют последовательным резонансом (сопротивление минимально), а в параллельном контуре – параллельным (сопротивление максимально).

Попробуйте самостоятельно нарисовать векторные диаграммы напряжений и токов для параллельного контура на разных частотах.