Решаем ту же задачу, но
теперь без спектров. Считаем заданной импульсную или переходную характеристику.
Пусть при
.
Представим входной сигнал в виде суммы.
, где
есть очень короткие прямоугольные импульсы
длительности
, амплитуда которых пропорциональна
, рис. 3.15.
(
- целая часть
).
Определим импульс
, который отличается от импульса
только тем, что он имеет единичную
амплитуду. Тогда все импульсы
получаются из импульса
путём изменения амплитуды и сдвига.
; …..
.
Длительность импульсов надо задать так, чтобы в полосе частот,
определяемой коэффициентом передачи, спектр этих импульсов был равномерным (как
у
). Тогда реакцией цепи на каждый такой
импульс будет импульсная характеристика
,
умноженная на «площадь» импульса и смещённая на соответствующее время.
….
.
Суммируя эти реакции на выходе, получим
.
Теперь совершим предельный переход
(
) и получим интеграл вместо суммы (
).
. (3.13)
Обе подынтегральные
функции равноправны. Верхний предел часто пишут бесконечным, поскольку , когда
.
Приведённый результат
легко получить и на основе спектрального подхода. Если учесть, что и
, то
. Обратное преобразование Фурье от произведения
спектральных функции равно свёртке временных.
Можно выразить выходное
напряжение суперпозицией переходных характеристик и получить следующее
выражение, которое часто называют формулой Дюамеля. .
(3.14)
К ней мы придём, используя такие рассуждения. Снова , но теперь
это ступенчатые функции, рис. 3.16.
, т.к.
есть «высота» следующей ступеньки.
и т.д. Реакция на каждую функцию
есть
.
Суммируя эти реакции на выходе, будем иметь:
, где
. После выделения первого члена суммы и
предельного перехода к интегралу, получим приведённый результат. Он так же
легко получается со спектральных позиций.
.
Здесь мы учли, что
(
есть
оператор дифференцирования), а
. Реакцию на начальный
скачок входного напряжения обычно выделяют из интеграла, хотя можно этого и не
делать.
Приведённые интегралы составляют основу временного подхода и позволяют найти реакцию 4 х-пол. на любое воздействие по импульсной или переходной характеристике. Следует отметить, что разделение методов анализа на спектральные и временные в значительной степени условно. Всё сводится к тому, какой считать интеграл, Фурье или свёртку.
Примеры применения общих
методов анализа мы рассмотрим немного позже. Перейдём к задаче определения
параметров 4 х-пол., и, прежде всего, .
3.6. Матричная теория линейных четырёхполюсников.
Постулируем
зависимость от времени . Рассмотрим линейные пассивные 4
х-пол. Стандартное направление токов и напряжений указано на рис. 3.17.
Пусть 4 х-пол. имеет k независимых
контуров. Первый контур выберем для входной цепи, второй – для выходной. Все
остальные внутри. Токи входных зажимов одинаковы. Напишем систему уравнений
контурных токов.
(3.15)
………………………………
Нас не интересуют
процессы внутри 4 х-пол. Нам надо связать входные переменные () и выходные (
).
Напряжения считаем заданными. Пишем решение системы для токов.
. Здесь
есть
главный определитель системы, а
- миноры. Введём
обозначения:
. В итоге получили систему
линейных уравнений
, или короче
. (3.16)
Четыре элемента образуют матрицу проводимостей
, которая полностью определяет свойства
рассматриваемого 4 х-пол. Элементы матрицы не зависят от амплитуд
токов и напряжений.
3.6.1. Другие системы уравнений.
Мы имеем четыре переменные, две входные и две выходные. Если любые две из них принять за независимые, то две другие окажутся зависимыми. Тогда можно написать всего 6 равноправных систем. Для всех систем направления токов и напряжений одинаково. Одна уже была написана. Выпишем ещё 4.
.
Последний вариант уже
очевиден. Он используется крайне редко. Три матрицы, и
, можно назвать прямыми, а другие три –
обратными. Для перехода к обратной матрице надо: 1. Элементы на главной
диагонали поменять местами; 2. Поменять знаки у двух других элементов; 3.
Поделить все элементы на определитель системы. Например, матрица сопротивлений
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.