Методы ана­лиза напряжений в конструкциях с учетом деформаций ползучести, страница 28

Заметим, что проблема идентификации параметров в теории ползучести представляет собой частный случай известной общей задачи оценки значений параметров по результатам некоторых стандартных опытов [ 1 1]. Ниже мы кратко рассмотрим частные методы этой теории, используемые при исследо­вании ползучести, и будем различать два метода, один из которых здесь наз­ван прямой идентификацией, второй - косвенной идентификацией.

11.1.2.1. Прямая идентификация

Предположим, что определяющее соотношение содержит только наблюда­емые величины — Деформацию е _с, напряжение ег и время tи записывает­ся в виде

Здесь / — некоторая конкретная функциональная зависимость, определяемая материальными константами р_:, р₂, ..., которые нужно найти. По стандарт­ным кривым ползучести можно построить таблицу измеренных значений де­формаций ползучести, обозначаемых через e_c(j, /) — каждое такое значе­ние деформации соответствует измерению при напряжении а.   в момент вре­мени t.(i = 1, 2, .... 5; /= 1, 2, ..., Т).

Искомые параметры необходимо подобрать таким образом, чтобы обес­печить "наилучшее соответствие" данной таблицы и экспериментальных дан­ных. Очевидная общая идея такого выбора заключается в том, чтобы миними­зировать разность е _c(i , /) - /Ц, t.) для всех возможных значений индек­сов. Обычно это достигается путем минимизации суммы квадратов "ошибок" (среднеквадратичного отклонены^

___    ____ — _v ~ * « л vv, I ru асЮЛ liy TUN

(среднеквадратичного отклонения)

R =

2    2    ti_c(.',/)-/(a,,f,)]²

«•=!/=!                                       '

(11.2)

для всех имеющихся значений. Данный способ представляет собой частный вариант известной в математической статистике более общей процедуры, в которой предполагается, что наблюдаемые деформации ползучести измеря­ются с определенной ошибкой, и, следовательно, е _с(£ , j) — это среднеста­тистическое отдельных реализаций. Таким образом, необходимо минимизи­ровать сумму   "взвешенных" квадратов

^R= _^Sj .? , ^Ш«У ^tec('. /> - f(°i ' *j^)]2'                                                <^1U>

В оригинале best fit. - Прим, дерев.

11.1.Моделирование поведения материала при проектировании

303

в которой веса со.. равны обратным значениям ожидаемого отклонения (дис­персии) измерений, т.е. со.. = 1/v?.. Это означает, что чем меньше предпола­гаемая точность некоторого отдельного измерения (или группы измерений) по сравнению с остальными (и, следовательно, чем больше их дисперсия), тем меньше их вклад (вес) в минимизируемую сумму квадратов. На практике обыч­но предполагают, что в экспериментах на ползучесть отклонение всех изме­рений одинаково, так что выражение (11.3) сводится к выражению (11.2).

Сказанное можно продемонстрировать на частном примере установившей­ся ползучести в соответствии со степенным законом ползучести. Пусть име­ется таблица измеренных значений (сь, ё _с (i)), j = 1,2, ..., S, а уравнение (11.1) представляет собой зависимость скоростного типа i _c = В<т". Требу­ющиеся материальные константы можно найти путем минимизации суммы квадратов "ошибок" S

R=   2   со. [i_c(O- В"?]²-

«' -1

Это так называемая нелинейная задача метода наименьших квадратов Г 13]; алгоритмы ее решения имеются в большинстве систем математического обес­печения ЭВМ. Вспомним теперь, что одним из преимуществ степенного закона является возможность его записи в форме линейной зависимости логарифма деформации ползучести от логарифма напряжения. Вводя обозначения s_f = l_na,-, Е. = In i_c (i), придем к задаче минимизации суммы

S '=2    со;

» = i

Г[£. -(ь

(".4)

где Ь = In В. Минимум можно найти из уравнений dR/дЬ = 0, dR/dn = О, решение которых имеет вид

( = 1

j = 1

6 = ЬВ= —

1 = 1

(11.5)

- в    2 i= I

Т

СО;   S;

i = 1

Именно эта процедура обычно применяется при использовании степенного за­кона, причем, как правило, веса со? полагают равными единице. К сожалению, последнее предположение некорректно, поскольку, как уже отмечалось, со? Должны равняться дисперсиям экспериментальных данных. Вспомним, что