Методы ана­лиза напряжений в конструкциях с учетом деформаций ползучести, страница 24

Следует отметить, что к настоящему времени проведено очень немного исследований проблем численного анализа задач теории разрушения сплошной

среды. В частности, мало внимания уделено тем специфическим проблемам, которые возникают при попытке применить для решения задач указанной те­ории метод конечных элементов. Можно ожидать, что эта область будет пред­метом интенсивных исследований в будущем.

9.5. ПРИМЕР: РАЗРУШЕНИЕ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ

Идеи, высказанные в предыдущем примере, легче понять, обратившись к конкретной задаче. Рассмотрим задачу о разрушении или изотермической ползучести толстостенного цилиндра с внутренним радиусом а, внешним Ь, нагруженного внутренним давлением р и находящегося в условиях плоской деформации (см. рис. 4.2). Основные уравнения механики, описывающие по­ведение данной конструкции в случае установившейся ползучести, были при­ведены в разд. 4.3; там же читатель найдет используемые обозначения. В рассматриваемой здесь задаче предполагается, что возникает неустановив­шаяся ползучесть, вызывающая повреждение материала (в соответствии с определяющими соотношениями (9.4)); можно показать, что уравнения для деформаций ползучести на стадии скрытого разрушения имеют вид

)].

dt

(9.9)

= В.

^dt(1-co)"

Напряжения связаны с деформациями ползучести формулами  (9.10)

в которых фигурируют эквивалентные упругие напряжения

-?	=   Р«2 Ь2-а2	•а	б2) -77>>	о  _ а,,   - - 6    Ь	^<'^ •* — а*            т	-)	•••=ь5т7	-2v
и о «г	ператоры £	(1	•?-.с	<^л -	г2-"2    Ь2	ь / а	ЕгС-еС   Л	+
	2(1 - v2)		Л		Ь2-а2   г2		л         П/
					2            2	Ъ
	. £(1-2	!v)	1    / !	'-„с.	7>п   —	Г	nEz "Ч    '

2(1 -у')

266

Глава 9.Разрушение при ползучести

т   е^с     _f ^c

,2     4

>² -а²)   г²     i

1 —

6      — О

Заметим, что из условия несжимаемости следует соотношение _Е с ₌_(_ес _{+ Е}с\ Комбинируя соотношения (9.9) и (9.10), приходим к нужным нам уравнениям. Форма данных уравнений такова, что в процессе решения одновременно опре­деляются и напряжения. Их необходимо дополнить соответствующими кинети­ческими уравнениями для поврежденности. В рассматриваемой здесь задаче был использован критерий максимума главных напряжений. В толстостенном цилиндре при постоянном давлении максимальным оказывается напряжение о-д , которое всегда положительно. Таким образом,

<fo>         /ст₉     U

— = ДЬ²—   •                                                                                  (9-¹¹)

dt         \\ - со/

Для удобства вычислений разрешающая система уравнений приводится к без­размерному виду; для этого выбираем некоторое характерное напряжение ст₀ и полагаем s_f = а_г/ч_д, Е_г = е ^ £/сг„, а также вводим приведенное время т= Яо»'¹ ГВЛ. При этом уравнение (9.11) приобретает вид

(/СО

dT

t_o    1

11-Здесь по определению

₌   EB/D_______

(l+i)^¹-"**'

что совпадает с нормализованным временем до разрушения образца, растя­гиваемого постоянным напряжением а₀. Как и в случае многостержневой системы, полагаем т₀ = 1; тогда решение рассматриваемой задачи будет зависеть только от параметра нагрузки р„ = р/<т₀ .

Для численного решения задачу теперь можно привести к системе конеч­ного числа обыкновенных дифференциальных уравнений в дискретных точ­ках по толщине цилиндра — в радиальном направлении, скажем, в точках r_f, ф

9.5. Разрушение при ползучести толстостенной трубы

267

и  R, мож-

i = 1,2,...,М. Интегралы в выражениях для операторов r_t, Rно при этом вычислять по формулам, приведенным в разд. 7.5.