Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«АМУРСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГОУ ВПО «АмГПГУ»)

Кафедра математики

На правах рукописи

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

(методическое пособие для студентов физико-математического факультета)

ЧАСТЬ 1

Комсомольск-на-Амуре

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение    …………………………………………………………………….          2

Часть 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ …………          4

Глава 1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ …………          4

§ 1.1. Координата точки на прямой ………………………………………..          4

§ 1.2. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости ………………          6

§ 1.3. Геометрический смысл уравнений между координатами …………….          9

§ 1.4. Уравнение окружности ………………………………………………….          12

§ 1.5. Существование треугольника с заданными сторонами ………………          15

§ 1.6. Геометрический смысл неравенств между координатами ……………          17

§ 1.7. Аффинные координаты …………………………………………………          20

§ 1.8. Полярные координаты ………………………………………………….          22

Глава 2. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ ……………………………………          24

§ 2.1. Определение вектора …………………………………………………..          24

§ 2.2. Сложение и вычитание векторов ………………………………………..          27

§ 2.3. Умножение вектора на число …………………………………………….   30

§ 2.4. Координаты вектора …………………………………………………….          34

§ 2.5. Коллинеарность векторов в координатах. Применение векторов к выводу формул аналитической геометрии ………………………………..          37

§ 2.6. Проекция вектора на ось ……………………………………………….          40

§ 2.7. Скалярное произведение векторов …………………………………….          43

Глава 3. ПРЯМАЯ ………………………………………………………...........          47

§ 3.1. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору, по точке и нормальному вектору ……………………………………………………….          47

§ 3.2. Общее уравнение прямой ……………………………………………..          49

§ 3.3. Углы между прямыми. Параллельность и перпендикулярность …..          52

§ 3.4. Расстояние от точки до прямой ………………………………………..          54

§ 3.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ………………………          56

§ 3.6. Пучок прямых ………………………………………………………….          61

Под аналитической геометрией понимают метод, основанный на систематическом использовании координат, при помощи которого геометрическим понятиям дается аналитическое (алгебраическое) толкование, что позволяет геометрические задачи сводить к аналитическим (алгебраическим). Так, точке на плоскости ставится в соответствие пара чисел, ее координат; линии – ее уравнение; части плоскости, ограниченной линией или несколькими линиями – неравенство или система неравенств. Это позволяет геометрические задачи переводить на алгебраический язык и наоборот. Если, скажем, надо выяснить, пересекаются ли две линии, то на алгебраическом языке это означает, что надо выяснить, разрешима ли система уравнений, соответствующих этим линиям. При обратном переходе абстрактные алгебраические задачи получают  геометрическую трактовку.

Понятие координат уходит в древность, но творцами аналитической геометрии, то есть людьми, разработавшим и впервые широко применившим аналитические методы в геометрии, мы считаем французских ученых первой половины XVII века Пьера ФЕРМА (1601-1665) и Рене ДЕКАРТА (1596-1650). Благодаря новому методу в геометрии стали рассматривать движущиеся (текущие) точки и в геометрию вошла переменная величина. Последнее обстоятельство существенно способствовало открытию во второй половине XVII века дифференциального и интегрального исчислений, которые в трудах Ньютона и Лейбница объединились в новый раздел математики – математический анализ.

Появление аналитической геометрии и математического анализа означало зарождение новой математики – математики переменных величин, которую стали называть, и нередко называют сейчас, высшей математикой. Это был качественный скачок в математике, открывший новые возможности применения математических методов в смежных науках. Благодаря применению новых методов выдающие математические открытия посыпались как из рога изобилия. Поэтому XVIII век вошел в историю науки как золотой век математики  и механики.

Сегодня метод аналитической геометрии отличается от своего первоначального вида не столько новыми идеями (хотя таковые, конечно, есть и весьма существенные), сколько технически. Из новых технических средств упомянем векторы, сделавшие изложение аналитической геометрии более компактным и наглядным. Но, повторяем, идейная сторона метода сохранила свое значение и поныне, хотя прошло 3,5 века.