Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета, страница 25

                           (3.5.3)

у

Н                                      

 

                 α                       α    х

 

О                  

М

Рис. 3.13                                                      Рис. 3.14

Из этой формулы выведем условия параллельности (допускается и совпадение) и перпендикулярности прямых:

.

Итак, условием параллельности прямых является равенство их угловых коэффициентов:

                                       (3.5.4)

а условие перпендикулярности, имеющее вид

                                 (3.5.5)

удобно запомнить в такой форме: угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по величине и противоположны по знаку.

          Пример 1. Найти уравнения биссектрис углов между прямыми  и .

Эта задача уже дважды решалась: в § 3.2. и § 3.4.

Решение. а) Решая совместно уравнения данных прямых, находим точку их пересечения: .

б) Неизвестный угловой коэффициент биссектрисы обозначим k, угловые коэффициенты данных прямых находим из их уравнений: . Так как биссектриса образует равные углы с прямыми  и , то по формуле (3.5.3) . Получилось уравнение с одним неизвестным k. Оно равносильно совокупности двух уравнений: , которые после упрощений принимают вид .

Первое не имеет действительных решений, а из второго получаем два значения углового коэффициента - .

в) Находим уравнения биссектрис по точке А и угловому коэффициенту (формула (3.5.2)):  и окончательно  .

Пример 2. Найти уравнения касательных, проведенных из точки А(1, 2) к окружности х² + у² = 1.

Решение. Радиус данной окружности равен 1, расстояние от точки А до ее центра О равно . Так как >1, то точка А лежит вне круга и из нее можно провести две касательные к окружности.

Уравнения прямых, проходящих через точку А запишем по точке и переменному угловому коэффициенту k: у – 2 = k(x - 1). Касательные выделяются из этого множества прямых по такому признаку: они и только они имеют с окружностью одну общую точку. Таким образом, надо найти те значения k, при которых система  или  имеет единственное решение.

Исключая у, получаем уравнение относительно х: . После упрощений оно принимает вид .

Касательным соответствуют те значения k, при которых это квадратное уравнение имеет одно решение, то есть те, при которых дискриминант равен нулю: .

Поскольку в ответе должны получиться две касательные, можно было ожидать, что после раскрытия скобок и привидения  подобных членов получится уравнение второй степени. Однако получаем , откуда . Зная угловой коэффициент, находим касательную:  или .

                                                А где же вторая касательная? Теперь пора вспомнить, что пользуясь уравнением прямой с угловым коэффициентом, мы не учитываем прямые, параллельные оси ординат. Не будет ли прямая, проходящая через точку параллельно оси ординат, касательной к данной окружности? Уравнение такой прямой у – 1 = 0, она отстоит от начала координат, то есть от центра окружности, на расстояние 1 и поэтому касается данной окружности (рис. 3.15) Итак, получилось два решения: 3х – 4у +5 = 0. у – 1 = 0.

Рис. 3.15

§ 3.6. Пучок прямых

Определение. Собственным пучком прямых называется множество прямых, проходящих через одну точку – центр пучка (рис. 3.16); несобственным пучком называется множество параллельных между собой прямых (рис. 3.17)

Собственный пучок может быть задан центром, несобственный – одной из своих прямых. Вообще же, любой пучок можно задать двумя его прямыми – образующими пучками, причем в качестве образующих можно взять любые прямые пучка. При этом нет надобности указывать вид пучка. Располагая образующими, мы можем через любую точку плоскости, исключая центр в случае собственного пучка, однозначно провести прямую пучка.