Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета, страница 5

F(х, у) = 0                                                    (1.3.2)

Пример 3. Уравнение х-у=0 равносильно уравнению из примера 1, поэтому оно является уравнением прямой.

Пример 4. Уравнение х²+у²-1=0. Из формулы (1.2.2) ясно, что ему удовлетворяют координаты точек, лежащих на окружности радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 1.12).

                    у                                               у                                             у

                                                                                                                     М(х, у)

                                                                                                              у         

               у             М(х, у)                           у        М(х, у)                        ·               х о     х

              о ·           х                                    

                                 х                               о       х   х                           

Рис. 1.10                                  Рис. 1.11                                  Рис. 1.12

Пример 5. Уравнение х²+у²=0 удовлетворяет только одна пара действительных чисел – (0, 0). Следовательно, в данном случае линия вырождается в точку.

Пример 6. Уравнению х²+у²+1=0 не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел, следовательно, линия вырождается в пустое множество.

Из приведенных примеров видим, что уравнение (1.3.2) не всегда определяет линию; будем говорить, что оно, вообще говоря, определяет некоторую линию.

Вывод: множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.3.2), представляет собой, вообще говоря, некоторую линию; само уравнение называется уравнением этой линии.

Уравнение линии выражает зависимость между координатами произвольной (или текущей) точки данной линии. Переменные координаты, входящие в уравнение, называются текущими координатами.

Зависимость между текущими координатами может быть задана и в другой форме – параметрической, если обе текущие координаты выразить через новую переменную, называемую параметром. Общий вид параметрических уравнений такой:

                                             (1.3.3)

где t – параметр. Если из этих уравнений каким-либо способом исключить параметр (например, из первого уравнения выразить t через х и подставить во второе), то придем к уравнению вида (1.3.1) или (1.3.2). Этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии (1.3.3). Следовательно, если линия задана параметрически и из параметрических уравнений исключить параметр, то получим уравнение новой кривой, которая либо совпадает с данной линией, либо содержит ее как часть.

Пример 7. Параметрические уравнения , при исключении параметра t приводят к уравнению параболы у=х, причем для каждой точки параболы можно подобрать соответствующее значение параметра. Значит, данные параметрические уравнения определяют параболу.

Пример 8. Параметрические уравнения  при исключении параметра t приводят к уравнению у=х – уравнению биссектрисы I и IIIкоординатных углов. Однако данные параметрические уравнения определяют не всю биссектрису, а только ее часть, находящуюся в I координатном углу, так как х=у=t²0/

В настоящем параграфе изложена основная идея метода аналитической геометрии. Мы можем теперь изучение свойств линий заменить изучением свойств их уравнений, а также и наоборот. Наиболее естественно решаются вопросы, связанные с пересечением двух линий.

Пример 9. Сколько общих точек имеет парабола у=х² и прямая х+у+m=0 (в зависимости от m)?

          Решение. Уравнение х+у+m=0 при  разных m определяет различные прямые. При m=0 – это биссектриса II и IV координатных углов, при m0 будут прямые, предельные этой биссектрисе.                            у

Наглядно легко себе представить, что при некторых значениях m

прямая пересекает параболу, при             

одном значении – касается, а при

других значениях не имеет с ней