Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета, страница 12

Обозначение сонаправленных лучей - , противонаправленных - .

Наглядно очевидно (полное доказательство непросто), что сонаправленность лучей транзитивна:

                                           (2.1.1)

Из транзитивности легко выводятся и такие свойства сонаправленности-противонаправленности:

      (2.1.2)

Определение. Векторы  и  называются сонаправленными (противонаправленными), если сонаправлены (противонаправленны) лучи АВ и PQ.

Обозначение со- и противонаправленности векторов такое же, как и для лучей.

Коллинеарные векторы либо со- либо противонаправленны.

Из формул (2.1.1) и (2.1.2) вытекают аналогичные свойства векторов:

                                           (2.1.3)

      (2.1.4)

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины.

Так как равенство чисел и сонаправленность векторов транзитивны, то транзитивно и равенство векторов.

Определение. Отложить вектор  от точки 0  - это значит построить вектор  (рис. 2.2).

Определение. Два вектора называются противоположными, если они противонаправленны и имеют равные длины.

Обозначение: - - это вектор, противоположный вектору . Очевидно, что векторы   и  противоположны: =-. Заметим, что если АВСД – параллелограмм, то .

Теорема. Если векторы  и  равны, то равны и векторы  и .

Символическая запись: .

Доказательство. Если векторы  и  не лежат на одной прямой, то из их равенства следует, что APQB – параллелограмм (рис. 2.3), а из свойств параллелограмма следует  = .

Пусть теперь равные векторы  и  лежат на одной прямой (рис. 2.4). Введем на этой прямой систему координат (§ 1.1.) и обозначим координаты концов векторов: А(а), В(b), Р(р), Q(q).

Из равенства длин векторов  и  по формуле (1.1.1) имеем ; из сонаправленности этих векторов заключаем, что знаки разностей b-а и q-p совпадают. Поэтому b-а = q-p.

Аналогично рассуждая. Приходим к выводу, что требуется доказать равенство q-а=q-b, а оно тривиально вытекает из предыдущего. Теорема доказана.

                                                     F                                                     P

         Н                            h

    а)                                k                                                       A                           Q

     К           

O       Рис. 2.2                           Рис. 2.3  

B

     б)   H                  h                         A           B                P            Q

                   K                                       ·                             ·

k                                     Рис. 2.4

Рис. 2.1

§ 2.2. Сложение  и вычитание векторов

Определение. Пусть имеется два вектора  и . От произвольной точки 0 отложим вектор , затем от точки А – вектор ; вектор  называется суммой вектора  с вектором .

Это определение называют правилом треугольника и записывают в виде следующей формулы:

                            (2.2.1)

Различные случаи сложения показаны на рис.2.5абв

Сложение нескольких векторов можно выполнить, применяя правило треугольника многократно (тогда говорят о правиле многоугольника). На рис. 2.6 .

В определении суммы векторов участвует произвольная точка 0. Поэтому необходимо еще доказать, что результата сложения не зависит от ее выбора. Иначе говоря, надо доказать корректность определения.

Теорема. Результат сложения двух векторов не зависит от выбора точки, от которой откладывается первый вектор.

Доказательство. Пусть  и  - данные векторы, О и О₁ – произвольные точки. . Требуется доказать  (рис. 2.7)

                                                                           

                                                                                                                              

б)                                                  в)

       а)                                                                                                                    

                                А