Вопросы к государственным экзаменам. Комплексные числа, операции над ними. Различные типы уроков при изучении комплексных чисел

Вопросы к государственным экзаменам 2005-2006г.

1.  Комплексные числа, операции над ними. Различные типы уроков при изучении комплексных чисел.

Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Геометрическое представление комплексных чисел. Действие с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

2.  Теория делимости в кольце Z. Реализация основных направлений профильной дифференциации при изучении теории делимости.

Теорема о делении с остатком. НОД и НОК целых чисел, существование и единственность. Простые числа. Основная теорема арифметики.

3.  Кольцо многочленов над полем комплексных чисел. Реализация проблемного обучения на примере изучения теории многочленов.

Определение многочлена над полем Р. Корни многочлена. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Простые многочлены над полями С, R, Q.

4.  Производная функции, ее геометрическая и физическая интерпретация. Активизация познавательной деятельности при изучении производной.

В ответе: 

1.  Дать определение производной функции в точке и проиллюстрировать это понятие на конкретном примере.

2.  Раскрыть геометрический и физический смысл производной.

3.  Раскрыть связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.

4.  Вывести уравнение касательной к графику дифференцируемой функции.

5.  Сформулировать правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложных функций.

5.  Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве. Развитие пространственного мышления при изучении метода координат в курсе стереометрии.

Исследовать взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых. Вывести соответствующие признаки параллельности и перпендикулярности.

6.  Скалярное произведение, его свойства. Реализация личностно - ориентировочного  подхода при изучении скалярного произведения.

На основании определения доказать основные свойства скалярного произведения: коммутативность, геометрический смысл знака, условие перпендикулярности, вынесение за знак скалярного произведения числового множителя, выражение скалярного произведения через проекции, дистрибутивность. Скалярное произведение в координатах. Длина вектора и угол между векторами. Все вопросы рассмотреть в двумерном и трехмерном пространствах.

7.  Параллельное проектирование, его свойства. Мотивация учения школьников при изучении параллельного проектирования.

Дать определение изображения фигуры в параллельной проекции, объяснить значение аффинных свойств оригинала. Доказать, что всякий треугольник можно считать изображением любого другого, а четырехугольник – не всегда. Сформулировать теорему Польке – Шварца и объяснить ее значение в теории изображений.

8.  Определенный интеграл, его свойства, формула Ньютона – Лейбница. Реализация развивающего обучения на примере изучения определенного интеграла.

В ответе:

1.  Дать определение понятий интегральной суммы и определенного интеграла.

2.  Дать определение понятий интегральных сумм Дарбу.

3.  Сформулировать их свойства и критерий интегрируемости.

4.  Сформулировать теорему Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

5.  Доказать интегрируемость непрерывной функции.

9.  Дифференциальные уравнения первого порядка. Реализация профильного обучения на примере изучения дифференциальных уравнений.

В ответе:

1.  Дать понятие дифференциального уравнения, его решения.

2.  Сформулировать теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

3.  Рассмотреть уравнения с разделяющимися переменными. Метод отыскания его общего и частных решений.

4.  Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод отыскания его общего и частных решений.

10.Локальный экстремум функции, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, монотонность функции. Организация работы с одаренными детьми при изучении свойств функции.

В ответе:

1.  Дать понятие строгого локального экстремума функции.

2.  Сформулировать необходимый и достаточный признак монотонности функции и доказать его.

3.  Сформулировать достаточный признак монотонности.

4.  Продемонстрировать на конкретном примере алгоритм исследования функции на монотонность.

5.  Обосновать правило исследования функции на экстремум.

6.  Обосновать правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, привести пример.

11.Преобразование подобия плоскости. Гомотетия и ее свойства. Реализация различных методов и средств обучения при изучении подобия в школьном курсе.

Дать определение преобразования подобия и вывести общие свойства: образ отрезка – отрезок, величина угла – инвариант и др. Доказать, что множество подобий образует группу. Дать определение гомотетии и показать, что она является частным