Основные положения теории принятия решений. Принятие решений в условиях неопределенности природы. Принятие решения при неопределенности целей. Принятие решений в условиях конфликта, страница 30

Найдем сначала оптимальную стратегию Р. Она должна обеспечить выигрыш, не меньший ν при любой стратегии противника, и = ν приего оптимальном поведении Q. Пусть ν>0. Чтобыэто выполнялось,достаточно, чтобы все элементы матрицы a_ij >0. В противном случае можно прибавить ко всем элементам матрицы А достаточно большое число М, тогда цена игры увеличится на М, а вероятности останутся теми же.

 для любого j. Введем обозначения: x_i=p_i/ν, тогда

,     , выбор должен быть максимально возможным, следовательно, 1/ν принимает минимальное значение. Таким образом, .

Найдем теперь оптимальную стратегию 2-го игрока. Все аналогично решению игры для первого игрока, только второй игрок стремится не максимизировать, а минимизировать свой проигрыш ν, а значит, максимизировать величину 1/ν.

Поскольку стремление к цене игры ν выгодно 2-му игроку, то он проиграет не больше ν при любой стратегии 1-го игрока.

для любого i. Заменим y_j=q_j/ν, тогда

, а т.к. Σq_j=1, то Σy_j=1/ν. Требуется так выбрать переменные y_j, чтобы максимизировать функцию , или, что то же самое, минимизировать функцию L’=-L:  _.

4.7 Симметричные игры

Рассмотрим один частный класс игр.

Опр.  Квадратная матрица А={a_ij}называется кососимметричной, если a_ij=-a_ji для любого i.

Th. Значение симметричной игры равно нулю. Кроме того, если х – оптимальная стратегия первого игрока, то х также оптимальная стратегия для второго.

Пример.

р1 р2 р3

             

По теореме n=0; а т.к. P=Q, то найдем P.

Средний выигрыш 1-го игрока при любой стратегии 2-го

         -р₂+2р₃=0   →    р₂₌2р₃

р₁        -3р₃=0   →    р₁ =3р₃

-2р₁+3р₂       =0

р₁+  р₂+ р₃=1

2р₃ +3р₃ +р₃=1

6р₃=1;    р₃=1/6; р₂=1/3;   р₁=1/2

P=Q=(1/2; 1/3; 1/6)

4.8 Биматричные игры

Если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

-  не всегда выигрыши игроков противоположны, т.е. f₁=-f₂;

-  интересы сторон даже с двумя участниками не обязательно противоположны,  

существует хотя бы одна ситуация, когда интересы игроков близки;

-  различие в оценках ситуации оставляет  место для соглашений, договоров и кооперации;

-  для ЛПР цена игры имеет незначительную ценность, ,он готов на использование дополнительных стратегических возможностей, чтобы получить больше, чем гарантированный результат, - следует перейти к другой форме игры – биматричной.

Биматричная игра – это конечная игра двух лиц  с ненулевой суммой

Выигрыши игроков определяются следующими матрицами:

А=- матрица выигрышей первого игрока, или ||а_ij||, 

В=||b_ij|| - матрица выигрышей второго игрока. 

Решение игры будем искать, ориентируясь на следующую логику. С точки зрения первого игрока его средний выигрыш (матрица А) должен быть больше или равен среднему выигрышу второго игрока при любой стратегии 2-го.

Средний выигрыш первого игрока: Мn₁=,

Средний выигрыш второго игрока: Мn₂=,

å b_ij p_i £ å b_ij p_i q_j , å p_i=1

å a_ij q_j £ å a_ij p_i q_j , å q_j=1, для любых i, j.

В случае, когда матрицы выигрышей имеют размерность 2х2, биматричную игру можно свести к решению двух матричных.

 Пример. Заданы две матрицы игры: А=, В=

p₁= ==;  p₂= ==Þ Þ n=

р₁=; р₂=

Матрица В решается с точки зрения первого игрока, т.к. целью второго является также выиграть как можно больше:

q₁= =;  q₂= =Þ Þ n=; q₁=; q₂=

Ответ: Р=(;); n₁=;  Q=(;); n₂=.

Это решение выгодно обоим игрокам, т.к. их гарантированные результаты: (-1) – для первого и (-1) – для второго.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. – М.: Сов. радио, 1972.

2.  Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир.-1990.

3. Т.Саати. Аналитическое планирование. Мир, 1989.
4. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. – М.: Логос, 2000.
5. Вагнер Г. Основы исследования операций (т.1,2,3). – М.: Мир, 1973.
6. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. – М.: Радио и связь, 1992.