Основные положения теории принятия решений. Принятие решений в условиях неопределенности природы. Принятие решения при неопределенности целей. Принятие решений в условиях конфликта, страница 25

·  по характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой;

·  по виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, типа дуэлей и др.

Антагонистическая игра – игра двух лиц с нулевой суммой.

Матричная игра – это конечная игра двух лиц с нулевой суммой, или конечная антагонистическая игра. Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, но не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии для одного игрока и смешанной стратегии для другого. Такая задача решается сравнительно легко.

4.3 Матричные игры

Рассмотрим конечную бескоалиционную игру двух лиц: I={I,II}.

Множество стратегий первого игрока обозначим Х={х},

Множество стратегий второго – Y{y}.

Выбор каждым игроком своих стратегий определяет некоторый исход игры (x,y).  Заинтересованность игроков в исходе (x,y) будем выражать функцией выигрыша:

f₁(x,y) – функция выигрышей первого игрока и

f₂(x,y) – функция выигрышей второго.

Поскольку игра с нулевой суммой, то f₁(x,y)=-f₂(x,y).

В антагонистической игре цели игроков также должны быть противоположны: если цель первого – выиграть как можно больше, то цель второго -  проиграть как можно меньше.

Например, цель первого игрока – получить для своей продукции определенную долю рынка, тогда цель конкурента – не дать ему это сделать.

Для анализа игры информация записывается в виде матрицы, строками которой являются стратегии первого игрока, а столбцами – стратегии второго. На пересечении строки и столбца находится выигрыш первого игрока (он же проигрыш второго) при соответствующем исходе.

Игра решается с точки зрения первого игрока. Его цель – выиграть как можно больше. Поскольку выигрыш первого является проигрышем второго (антагонистическая игра), то цель второго - проиграть как можно меньше.

Решить игру – значит найти оптимальные стратегии каждого игрока и оценить результат, т.е. выигрыш первого игрока.

Таблица 20                                         

Матрица игры                                                                               

4.4 Ситуация равновесия

В игре может существовать ситуация равновесия – (x^*, y^*).

Эта точка характеризуется следующим свойством: если один игрок придерживается стратегии, соответствующей ситуации равновесия, то второму игроку невыгодно отступать от своей стратегии, соответствующей ситуации равновесия.

Пусть f₁(x,y) – выигрыш первого игрока в ситуации (x,y); f₂(x,y) – выигрыш второго игрока. Тогда принцип равновесия запишется в виде

f₁(x,y^*)£f₁(x^*,y^*)

    f₂(x^*,y)£f₂(x^*,y^*).

Умножим второе неравенство на (-1): 

-f₂(x^*,y ³-f₂(x^*,y^*), или, учитывая, что   f₁(x,y)=-f₂(x,y),

   f₁(x^*,y)³f₁(x^*,y^*), откуда

f₁(x,y^*)£f₁ (x^*,y^*)£f₁(x^*,y)

Таким образом, ситуация равновесия – точка, выигрыш в которой первого игрока минимален по y и максимален по x:   

.