Основные положения теории принятия решений. Принятие решений в условиях неопределенности природы. Принятие решения при неопределенности целей. Принятие решений в условиях конфликта, страница 15

МКЗ может быть решена с использованием следующего алгоритма:

·  на первом шаге необходимо уменьшить исходное множество альтернатив, убрав заведомо худшие;

·  на втором - свести задачу к однокритериальной путем введения интегрального критерия, т.е. построить интегральную оценку каждой альтернативы, используя ее оценки по каждому из критериев, что позволяет сравнивать альтернативы и находить наилучшую с точки зрения этого интегрального критерия.

3.2 Множество Парето

Рассмотрим принцип, с помощью которого можно уменьшить исходное множество альтернатив. Этот принцип в начале ХХ века разработал итальянский математик, социолог и экономист В. Парето. С тех пор этот принцип называют принципом Парето. Смысл его состоит  в следующем. В многокритериальной задаче оценка альтернативы является векторной оценкой:

j(х)=(j₁(х),j₂(х),…,j_n(x)),

j_i(х) - оценка альтернативы х по i-му критерию.

Возьмем две альтернативы - х₁  и  х₂. Если все оценки  j_i(х₁)³j_i(х₂), причем хотя бы одно неравенство строгое, то альтернатива x₁ предпочтительнее альтернативы х₂ -  х1ýх2, -   и тогда альтернативу х₂  можно исключить из рассмотрения.

Оставшиеся альтернативы образуют множество Парето (множество неулучшаемых альтернатив), т.е. альтернатив, улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим, или множество неулучшаемых альтернатив.

Поле полезности решений

Векторная оценка альтернативы по nкритериям аналогична заданию альтернативы в виде точки в некотором пространстве. Такое пространство называют критериальным.

В критериальном пространстве все альтернативы будут заданы точками, проекции которых на оси являются оценками альтернатив по соответствующим критериям.

Рассмотрим пример (рис.3). Здесь крестиками помечены возможные альтернативы. Отметим область, ограниченную минимальными и максимальными значениями критериев - это поле полезности решений, на рис.3 оно выделено красным прямоугольником. Все альтернативы лежат внутри этой области. Правая верхняя точка этой области называется утопической точкой - УТ, - ее координаты (f_1max, f_2max). Это самая лучшая точка области. Противоположная ей точка - АУТ - антиутопическая точка с координатами (f_1min, f_2min).

Чтобы сравнить альтернативы между собой, введем понятие конуса предпочтения. Для этого возьмем произвольную точку внутри поля полезности решений, назовем ее РТ - рассматриваемая точка, - и свяжем с ней систему координат, оси которой параллельны осям критериального пространства. Тогда все точки из первого квадранта (заштрихован) будут лучше, чем точка РТ. Эта область носит название конуса предпочтения. Все точки, которые хуже, чем рассматриваемая, лежат в третьем квадранте – это антиконус предпочтения. Название конус оправдывается, как только размерность задачи становится достаточно большой.

  f₂

2

      f_{2max                                                                  УТ}

                                        _{1                        1}                 

                                                                                      ₅                                                                                  

                    f_{2min                АУТ   3   РТ          4}

f_1min                      f_1max       f₁

Рис. 3 – Поле полезности решений

Проанализировав таким образом все точки из области поля полезности, увидим, что остались только точки 2 и 5 – это несравнимые альтернативы, т.е. они образуют множество Парето.

Множество Парето можно построить при любом задании альтернатив:

-  координатном, когда альтернативы заданы своими координатами в критериальном пространстве;

-  графическом, когда альтернативы образуют непрерывное множество и изображены точками на графике в координатном пространстве (см. рис.4);

-  аналитическом, когда оценки альтернатив по каждому критерию являются непрерывными функциями, например, f₁(x)=x, f₂(x)=x³-4x+2.