Теория множеств. Тождества алгебры множеств. Основные понятия теории графов. Методы задания конечных автоматов. Синтез функциональной схемы конечного автомата, страница 13

-дизъюнкция . Эта функция также имеет другие названия: логическое сложение, операция ИЛИ.

-операция Шеффера (штрих Шеффера, функция Шеффера, И-НЕ)

.

-операция Пирса (стрелка Пирса, функция Пирса, ИЛИ-НЕ) .

-сумма по модулю 2 (исключающее ИЛИ) .

В дискретных устройствах эти функции реализуются логическими элементами И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и элементом сумма по модулю 2.

И                  ИЛИ                И-НЕ              ИЛИ-НЕ        Сумма по mod 2

Рассмотренные функции позволяют строить новые функции путем перестановки аргументов  и путем подстановки в функцию новых функций вместо аргументов. Функцию, полученную из функций  путем применения этих правил называют суперпозицией функций .

При дальнейшем увеличении числа аргументов количество функций быстро возрастает:  при 3 аргументах существует 256 функций, при 4 аргументах – 65536 функций,… Среди этих функций есть и уже известные функции 0, 1,  , , , ,…, а также многоместные функции конъюнкции, дизъюнкции, Шеффера и Пирса. При любом числе аргументов для этих функций справедливо следующее:

- конъюнкция (И). Если хотя бы один аргумент равен 0, то функция равна 0. Функция равна 1, если все аргументы равны 1;

- штрих Шеффера (И-НЕ). Если хотя бы один аргумент равен 0, то функция равна 1. Функция равна 0, если все аргументы равны 1;

- дизъюнкция (ИЛИ).  Если хотя бы один аргумент равен 1, то функция равна 1. Функция равна 0, если все аргументы равны 0;

- стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ). Если хотя бы один аргумент равен 1, то функция равна 0. Функция равна 1, если все аргументы равны 0.

Вопрос: Нужно ли  помнить таблицы истинности? 

Ответ: смотря какие. За незнание таблиц истинности функций:  константа ноль, константа единицы, аргумент , инверсия аргумента , сумма по модулю два,  а также функций «И», «ИЛИ», «И-НЕ» (функция Шеффера), «ИЛИ-НЕ» (функция Пирса) любого числа аргументов я торжественно расстреливаю злодеев из рогатки  железными гайками  перед строем, а  после этого еще топчу тела ногами. 

Основные формулы булевой алгебры

Для доказательства формул можно пользоваться табличным методом. При его использовании строятся  таблицы истинности для левой и правой частей доказываемого соотношения. Если эти таблицы совпадают, то имеет место тождество.

Свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

,

,              ,

,                                           ,

,                        .

Для последнего соотношения нет аналога в обычной алгебре , но в булевой алгебре это тождество. Проверим его справедливость табличным методом:

Пятый и восьмой столбцы соответствуют значениям левой и правой частей на всех возможных наборах аргументов. Совпадение этих столбцов доказывает тождество.

Существование последних двух тождеств (распределительных законов) делает законы булевой алгебры полностью двойственными. Это означает, что если существует какое–либо равенство, то существует и второе равенство, в котором символы дизъюнкции заменены символами конъюнкции, а символы конъюнкции – символами дизъюнкции.

Пример. Справедливо равенство , в силу свойства двойственности справедливо и равенство . Эти тождества называются соотношениями Блека – Порецкого.