Теория множеств. Тождества алгебры множеств. Основные понятия теории графов. Методы задания конечных автоматов. Синтез функциональной схемы конечного автомата, страница 12

Пример: перевести десятичное число 0,84 в двоичную систему счисления

,    , а остаток ;

,   , а остаток ;

,  , а остаток ;

,  , а остаток  и т.д.

Итак, .

Если десятичное число содержит целую и дробную часть, то их преобразуют в двоичные числа по отдельности.                     

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ.

В отличие от функций непрерывной математики в алгебре логики рассматривают функции, в которых и аргументы и значения функции принимают значения из множества {0,1}. Эти функции называют булевыми функциями.

Значения аргументов в дальнейшем будем называть набором аргументов или просто набором. Из определения булевой функции следует, что для ее задания достаточно указать значение функции для каждого набора аргументов, т.е. записать таблицу.

Число строк таблицы определяется числом возможных наборов аргументов и равно , где  - число аргументов.

Если две функции  и  принимают на всех возможных наборах аргументов  одинаковые значения, то функции  и  называют равными.

Функция  существенно зависит от аргумента , если имеет место неравенство . В противном случае  является фиктивным аргументом и его можно удалить.

Доказано, что число всех функций, зависящих от  аргументов конечно и равно .

Рассмотрим функции одного аргумента . Столбец   - это значение аргумента, а столбцы

Функция  равна нулю при любом значении аргумента и называется константой ноль. Записывается . В дискретных устройствах логический ноль реализуется низким уровнем напряжения:

Значения функции  совпадает со значением аргумента, поэтому она называется аргумент x. Обозначается

Значения функции  противоположны значению аргумента. Эта функция называется инверсией аргумента x, иногда ее называют НЕ-. Обозначается .

В цифровых устройствах эта функция реализуется логическим элементом, который называется инвертором:            

          Значения функции  всегда равны единице. Она называется константой единица. Обозначается   и реализуется высоким уровнем напряжения:  +E         .

Для двух аргументов существует уже 16 булевых функций.

Среди этих функций следует особо выделить функции конъюнкции, дизъюнкции, Шеффера, Пирса, суммы по модулю 2:

-конъюнкция . Эту функцию иногда называют логическим произведением, либо функцией И. В литературе можно встретить различные обозначения этой функции: .