Моделирование систем: Учебное пособие (Структуры функциональных математических моделей систем. Общие вопросы математического моделирования систем), страница 9

Введенные выше три группы базовых математических конструкций (представляющих собой векторы и вектор-функции) позволили формализовано описать входы-выходы, состояния и собственные параметры системы. Это дает возможность перейти к рассмотрению различных видов функциональных математических моделей систем, различающихся как составом используемых в них конструкций, так и видом функциональных связей между ними. Можно считать, что такие разновидности моделей отличаются своими структурами. 

2.2.1.  Модель “входы” – “выходы”

Простейшим видом функциональных моделей систем является модель, учитывающая только перечни  входов  и  выходов  системы  (т.е. только векторы X и Y).

Такая модель в большинстве случаев совпадает с кибернетической моделью “черного  ящика” (рис. 2.2).

 

Система

                        X                                                                        Y

 

Рис. 2.2

Характерной особенностью такой модели является то, что она не учитывает внутреннее устройство системы (внутреннее  содержании “ящика”, его элементы и структуру).

В рамках математического моделирования систем модель “входы” – “выходы” имеет ряд разновидностей, учитывающих “степень известности” зависимости выходов от входов. Так, используется  разновидность такой модели, в которой зависимость выходов от входов предполагается совершенно неизвестной (см. например, [11]). Есть другие разновидности модели, в которой зависимость выходов от входов предполагается в той или иной степени известной (см. например, [2]).

Разновидность модели, предполагающая полную известность зависимости выходов от входов, называются модулями [2]. (Они позволяют описывать поведение подсистем  системы, что имеет  большое практическое значение при проектировании сложных систем).  

Отметим, что существует разновидность модели  “входы” – “выходы”, не сводящаяся к модели “черного ящика”. Такими моделями являются комбинационные или логические схемы. Они реализуют однозначную зависимость выходов от входов с помощью логической функции.

2.2.2  Модель “входы” - “собственные параметры” – “состояние”

Такая модель описывает зависимость состояния системы от ее входов и собственных параметров системы.

Будем считать, что рассматриваемая  модель имеет следующий вид:

Z(t) = F(t, X(t), H, Z₀ ) .                                                    (2.1)

В этой модели F – некоторый оператор или вектор-функция, аргументами которой являются: некоторый момент времени, значения вектора X(t) (подсчитанные для этого момента времени), а также не зависящие от времени значения вектора H и вектора  Z₀ .

Такая вектор-функция может быть представлена как совокупность функций вида

z_k(t) = f_k( t , x₁(t), … , x_nx(t), h₁ ,  … _, h_nh , z₁(0), … , z_nz(0) ) ,       k=1,…, n_Z .

Замечание 2.13. В выражении (2.1) координаты вектора состояния системы явно выражены через аргументы вектор-функции. В общем случае такая зависимость может иметь неявную форму вида

F ^н (t, X(t), H, Z₀ Z(t) ) = 0 .

2.2.3.  Модель “входы”- “собственные параметры” – “состояние” и “входы”- “собст-венные  параметры” –“состояние”- “выход”.

Рассматриваемая  модель одновременно описывает зависимости двух видов:

- зависимость состояния системы от входов и собственных параметров системы,

- зависимость выходных характеристик системы от входов, собственных параметров и состояния системы

Будем считать, что рассматриваемая  модель имеет следующий вид

Z(t) = F(t, X(t), H, Z₀ ) ,                                                           

(2.2)

Y(t) = F( t, X(t), H, Z₀, Z(t))

Такая модель в [4] названа полной аналитической моделью системы

Замечание 2.14. В [3,15] рассмотрена разновидность такой модели, в которой вектор- функция Y(t) зависит только от t и Z(t) .