Моделирование систем: Учебное пособие (Структуры функциональных математических моделей систем. Общие вопросы математического моделирования систем), страница 15

Отметим, что в соответствии с введенной ранее классификацией рассматриваемые математические модели относятся к аналитико-алгоритмическим моделям. (При этом аналитический аспект модели состоит в записи дифференциальных уравнений в форме аналитических зависимостей, а алгоритмический – в решении этих уравнений).

С помощью однородных и неоднородных ОДУ с зависимыми (эндогенными) переменными, представляющими собой состояния системы, описывается большое количество механических, электрических и других технических систем.

Приведем некоторые примеры таких систем и их моделей.

Рассмотрим простую механическую систему – пружинный маятник (рис. 4.3).

Такая система состоит их двух элементов – пружины и прикрепленного к ней груза (массы). Пружина не имеет веса и  характеризуется коэффициентом жесткости k_ж , а груз – массой m. В качестве неизвестной функции рассматривается отклонение центра масс маятника от положения равновесия x(t).

Рис. 4.3

Для такой системы в классе ОДУ могут быть составлены несколько видов математических  моделей, отличающихся перечнем учитываемых факторов. (Технология составления уравнений рассмотрена в приложении А).

Наиболее простая разновидность модели, описывающая изолированную систему, представляет собой  линейное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами  вида     

 ,                                                         (4.4)

где x(t) – отклонение центра масс от положения равновесия, m – масса груза k_ж – коэффициент жесткости. В системе, описывающейся таким уравнением, имеют место свободные колебания. 

Нормальная система уравнений (форма (4.3)) для  пружинного маятника, описываемого уравнением (4.4), имеет вид

                                                             (4.5)

В качестве характеристик состояния рассматриваемой системы (ее фазовых характеристик) выступают две функции: 

z₁(t) = x(t) – отклонение центра масс от положения равновесия;        

z₂(t) = v(t) – скорость движения центра масс.

Таким образом, вектор состояния системы имеет вид  Z = (z₁(t), z₂(t)) = (x(t), v(t)).

В результате решения ОДУ вида (4.4) определяется функция x(t), описывающая  гармонические колебания.  Такая функция учитывает собственные параметры системы и начальные условия. Фазовая траектория системы  на плоскости z₁0z₂ представляет собой эллипс с полуосями, направление которых совпадает с направлением координатных осей.  (Определение зависимости x(t) и фазовой траектории системы, описываемой уравнением (4.4), предусматривается в рамках практической работы № 1).

При моделировании системы “пружинный маятник” может быть учтено воздействие внешней среды,

препятствующее колебаниям. Эта сила принимается пропорциональной скорости  движения груда. Она может трактоваться как сопротивление воздуха или как действие некоторого демпфирующего устройства.

Процесс колебаний в этом случае описывается уравнением вида

                                                  (4.6)

в этом уравнении k_с – коэффициент сопротивления. В рассматриваемом случае маятник будет совершать затухающие  колебания.

З а м е ч а н и е  4.5. Коэффициент k_с  является, по существу,  характеристикой внешней среды системы.

Характер движения центра масс определяется особенностями характеристического уравнения данного линейного ОДУ с постоянными коэффициентами. При этом возможны три различных случая такого уравнения, вызывающих различную картину движения системы (случай затухающих колебаний и случай апериодического движения) [20,24]. (Решение задачи такого вида также предусмотрено в рамках практической работе № 1)

С помощью ОДУ может быть также учтена ситуация, когда на груз действует некоторая периодическая возмущающая сила F_вн(t), не зависящая от характеристик системы (ее внутренних параметров или состояний). Она может трактоваться как компонента вектора входных переменных X(t).

Соответствующее уравнение будет иметь вид

 .                                    (4.7)