Моделирование систем: Учебное пособие (Структуры функциональных математических моделей систем. Общие вопросы математического моделирования систем), страница 14

y¢_i  =  f _i (x, y₁ , y₂ , …, y_n )  ,           i =1,2, …,n                          (4.3)

где x – аргумент, y₁ , y₂ , …, y_n -  искомые функции от этого аргумента, y¢₁, y¢₂, …, y¢ _n – их производные, f₁ f₂ ,…, f_n  - заданные функции.

С помощью специальных преобразований к такой форме могут быть приведены как дифференциальные уравнения n-го порядка вида (4.1), так и системы дифференциальных уравнений вида (4.2). Схема взаимосвязи таких форм ОДУ и систем ОДУ представлена на рис. 4.2.

                                                                

Рис. 4.2

В связи с этим при описании моделей систем с помощью дифференциальных уравнений будем в качестве унифицированной формы использовать форму (4.3). Именно такая форма соответствует моделям вида (2.8) и (2.9)

Использование ОДУ для  моделирования систем имеет свою специфику.

Так, в математических моделях, описывающих динамические системы, в качестве независимой переменной  x  обычно фигурирует  время  t .

Уточним далее интерпретацию искомой функции, входящей в ОДУ.

Такие функции при моделировании систем могут соответствовать:

-  некоторой переменной состояния системы (одной из фазовых переменных, обозначенных нами ранее как z_k(t) ;

-  некоторой компоненте  вектора выходных характеристик системы, обозначенных ранее как y_j(t).

При наличии системы ОДУ функции y₁ , y₂ , …, y_n  чаще всего интерпретируются как совокупность переменных состояния системы  z_k(t) , (k=1,…,n_k ).

Первому варианту математической модели системы соответствует модель, имеющая структуру вида  (2.8) или (2.9). При этом каждая из функций состояния  z_k(t) , являющаяся компонентой вектора Z(t), зависит от значений компонент вектора собственных параметров H, а компоненты вектора Z₀ задают начальные условия (y₁| _t=0 = z₁⁰ , y₂| _t=0 = z₂ ⁰ , …, y_n | _t=0 = z_nz ⁰ ).   

В отношении вектора входных переменных X(t), необходимо отметить следующее. Имеются системы, не взаимодействующие с внешней средой. Такие системы называются изолированными  (автономными, замкнутыми ).

Системы, не имеющие входных воздействий, называются изолированными по входу.  При моделировании таких систем вектор входных переменных  X(t) отсутствует.  Системы последнего вида описываются однородными  дифференциальными уравнениями. При их представлении в виде нормальной системы дифференциальных уравнений им соответствует модель вида (2.9)

Имеются физические системы, испытывающие при своем функционировании сопротивление внешней среды, пропорциональное первой производной искомой функции.  Моделями таких систем  также являются  однородные  дифференциальные уравнения. 

З а м е ч а н и е  4.4. Рассматриваемые системы, испытывающие воздействия внешней среды, теряют свою внутреннюю энергию. Такие потери формально могут трактоваться как “выходы энергии” из системы.

Имеются также системы, испытывающие внешние воздействия, не зависящие от характеристик системы (ее внутренних параметров или состояний). Такие воздействия         описываются вектором входных переменных X(t) , точнее, его одной компонентой. Такие системы описываются неоднородными дифференциальными уравнениями. (При этом в правую часть таких уравнений и образует указанная компонента x(t)). При переходе к нормальной системе дифференциальных уравнений им соответствует модель вида (2.8)).

Рассмотрев специфику математических моделей систем в классе дифференциальных уравнений, перейдем к вопросу их использования. Как известно, непосредственное использование математических моделей, записанных в формах (4.1) или (4.3), невозможно, поскольку необходимо осуществить решение этих уравнений, т.е. найти зависимость  у(t)  или зависимости  y₁(t) , y₂(t) , …, y_n(t) . 

Способы нахождения таких зависимостей по уравнениям заданного вида и заданным начальным условиям составляют содержание теории дифференциальных уравнений, являющейся одним из разделов математического анализа (см., например, [20,24,25]). (В рамках данного курса технология решения дифференциальных уравнений не рассматривается).