С математической схемой тесно связан соответствующий ей математический аппарат, позволяющий строить на ее основе более или менее широкую группу математических моделей.
Если моделируемую систему удается достаточно адекватно описать с использованием понятий некоторой математической схемы, то можно воспользоваться математическим аппаратом этой схемы, который обычно описывает связи между компонентами схемы.
Под математической моделью системы обычно понимается совокупность некоторой математической схемы и ее математического аппарата, позволяющего описывать “поведение” соответствующей абстрактной системы .
Следует отметить, что в рамках математики разработан достаточно большой “арсенал” типовых математических схем. Поэтому при моделировании необходимо решить задачу обоснованного выбора одной из таких схем
З а м е ч а н и е 4.1. К сожалению, с помощью типовых схем могут быть смоделированы далеко не все реальные объекты. В этом случае возникает необходимость в разработке уникальных математических моделей.
Типовые математические схемы разделяются на классы. Такие классы отвечают некоторым подходам к моделированию [3]. В основе выделения видов таких подходов лежит введенная нами ранее классификации моделей по “математическим свойствам”. Приступим к рассмотрению упомянутых подходов (или классов типовых математических схем).
4.2. Непрерывно-детерминированные модели
Математической схемой, отвечающей данному подходу, является динамическая система. Такая система рассматривается как некоторый абстрактный объект, обладающий определенными формальными свойствами, описанными, например, в [5]. Динамические системы в подавляющем большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями.
З а м е ч а н и е 4.2. Напомним, что дифференциальными уравнениями (ДУ) называют такие уравнения, в которые входят неизвестная функцияодной или нескольких переменных, а также производные различных порядков этой функции.
Если неизвестная функция являются функцией только однойнезависимой переменной, то такие уравнения называют обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ).
Если неизвестная функция представляют собой функцию нескольких переменных, то соответствующие уравнения называют дифференциальными уравнениями в частных производных.
Отметим, что дифференциальные уравнения в частных производных используются для моделирования процессов, протекающих в некоторых средах, рассматриваемых в трехмерном или двухмерном пространстве. Такого рода среды не являются структурированными объектами (в частности потому, что в них не выделяются какие-либо элементы). В рамках введенной ранее классификации “по уровням” такие модели относятся к моделям на микроуровне. В связи с этим в рамках моделирования систем такие уравнения нами рассматриваться не будут.
Классической формой записи ОДУ n-го порядка является форма вида
F ( x, y, y¢, y¢¢, …, y(n) ) = 0 . (4.1)
где y – неизвестная функция аргумента x.
На базе ОДУ строится более сложные математические конструкции – системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Такие системы представляют собой в общем случае совокупность ОДУ вида (4.1). При этом уравнения, входящие в систему, могут иметь различный порядок. В системах ОДУ фигурирует несколько неизвестных функций.
Обычно каждое из уравнений системы (4.1) может быть разрешено относительно старшей производной каждой из искомых функций. Такая система при одинаковом порядке старших производных, равном m , имеет вид
y(m) (x) = J n (x, y, y¢, y¢¢, …, y(m-1) ) , n =1,2,…,N . (4.2)
З а м е ч а н и е 4.3. В общем случае в системе (4.2) порядки старших производных m могут иметь различные значения.
Важную роль в теории дифференциальных уравнений играет частный вид систем ОДУ – системы дифференциальных уравнений первого порядка, имеющие так называемую нормальную форму. Такие системы имеют вид
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.