Уравнение (4.7) будет уже являться неоднородным ОДУ. Закон движения системы будет слагаться из двух колебаний: вынужденных, определяющихся внешней возмущающей силой, и собственных колебаний, обусловленных исключительно внутренними причинами (собственными параметрами системы).
Типичным примером, иллюстрирующим использования ОДУ для моделирования систем, является также описание с их помощью поведения электрических систем (электрических цепей). Рассмотрим электрическую цепь достаточно общего вида, представляющую собой колебательный контур ( рис. 4.4)
Рис. 4.4
Эта цепь содержит активное сопротивление R, емкость C, индуктивность L и источник переменного напряжения (источник э.д.с.) e(t). Для такой цепи на основании законов электротехники может быть составлено ОДУ, имеющее в качестве искомой функции зависимость электрического заряда от времени q(t) , вида
.
(4.8)
Подчеркнем, что такое уравнение совпадает по структуре с уравнением (4.7). При этом индуктивность L соответствует массе m, активное сопротивление R – коэффициенту сопротивления kс , а величина, обратная емкости C – коэффициенту жесткости kж . Имеющийся изоморфизм описаний рассматриваемых систем обуславливает к аналогию видов искомых функций q(t) и x(t) [3,4]. В этом случае можно также говорить, что у систем наблюдаются одинаковые динамические свойства.
З а м е ч а н и е 4.6. Отметим, что в электрической системе уравнению (4.4) соответствует колебательный контур, содержащий только L и C, уравнению (4.6) – контур, содержащий наряду с L и C активное сопротивление R.
З а м е ч а н и е 4.7. Вместо уравнения (4.8) часто используется уравнение, полученное его дифференцированием. В таком уравнений в качестве искомой функции фигурирует ток i(t).
Таким образом, при моделировании физического маятника и колебательного контура нами рассмотрены ДУ, относящиеся либо к классу линейных однородных ДУ либо линейных неоднородных ДУ.
В рамках классификации по уровням модели, представляющие собой ОДУ, следует отнести к уровню макромоделей. При этом следует подчеркнуть, что в форме ДУ не отражается характер связи между элементами системы и что разновидности ДУ, как правило, не отражают специфику моделируемых ими систем. (Виды ДУ не связаны с видами систем).
Специфика и структура связей элементов системы учитывается только на этапе составления ДУ.
Рассмотрим далее класс ОДУ, использующихся для моделирования систем автоматического управления или систем автоматического регулирования [3]. В моделях таких систем описывается как “вход”, так и “выход” системы. В качестве эндогенной переменной выступает выходная характеристика системы.
Рассматриваемые ОДУ представляют собой линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами., имеющие следующий вид:
, (4.10)
где y(t) – выходная или регулируемая величина, x(t) – входной сигнал, вызывающий реакцию системы (m £ n).
З а м е ч а н и е 4.8. В уравнении (4.10) искомой функцией является y(t). Она входит в уравнение со своими производными, что и определяет уравнение как дифференциальное. Функция, являющаяся правой частью уравнения, имеет вид, внешне напоминающий вид левой части (содержит некоторую функцию и ее производные). Однако с точки зрения теории ДУ она представляет собой лишь частный случай правой части дифференциального уравнения.
Составление ДУ вида (4.10) может осуществляться на двух уровнях.
- на уровне укрупненных блоков, называемых типовыми звеньями ;
- на физическом уровне, предполагающем получение дифференциальных уравнений типовых звеньев.
На втором уровне при описании совершенно различных по принципу действия и конструктивному оформлению устройств, могут использоваться одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковых динамических свойствах этих устройств.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.