Показателем эффективности СМО с неограниченным ожиданием может быть среднее время ожидания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди.
При построении аналитических математических моделей СМО предполагается, что потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими (т.е. ординарными потоками без последействия). Переход системы из состояния в состояние в этом случае не зависит от предыстории процесса. В связи с этим для описания процессов в СМО может быть использована математическая схема марковского процесса с непрерывным временем. Такая схема позволяет описывать процесс функционирования СМО с помощью аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова).
В значительной части случаев пуассоновский поток событий можно рассматривать как стационарным. В этом случае такой поток будет являться простейшим.
Общая методика построения аналитических математических моделей СМО, базирующаяся на использовании марковских процессов с непрерывным временем, такова. Выделяются состояния системы и строится размеченный граф состояний, на котором указываются плотности вероятностей переходов из состояние в состояние lij . Величины lij в данном случае представляют собой интенсивности потоков событий, переводящих СМО из состояния в состояние. (При этом, строго говоря, при переходе системы из одного в другое состояние реализуется только первое событие такого потока). Для размеченного графа составляется система дифференциальных уравнений. После этого производится решение системы уравнений (в общем виде). В результате решения определяются зависимости вероятностей состояний системы от времени и на их основе строятся выражения для определения показателей функционирования системы. Такие показатели имеют вид явных зависимостей от характеристик входного потока и параметров системы.
Рассмотрим пример приложения методики аналитического моделирования СМО к моделированию простейшей СМО – одноканальной СМО с отказами. Пусть в такую систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью l . Случайная длительность обслуживания заявок в такой системе описывается с помощью потока обслуживаний. Пусть поток обслуживаний системы также является простейшим с интенсивностью m. Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 4.6.а.
а б
Рис. 4.6
Для такой системы могут быть составлены два уравнения Колмогорова. В результате решения такой системы уравнений (при начальных условиях …..) определяются функции p0(t) и p1(t). Зависимость p0(t) имеет вид
. (4.18)
График такой зависимость приведен на рис. 4.6.б. Для одноканальной СМО с отказами вероятность p0 есть относительная пропускная способность системы [ ]. В пределе, при t® ¥ , когда процесс обслуживания уже установится , предельное значение относительной пропускной способности будет равно
q = m / (l + m ) .
Может быть также определено предельное значение абсолютной пропускной способности системы
А = а также предельное значение вероятности отказа (в обслуживании)
Рассмотренный пример иллюстрирует технологию составления и исследования аналитических математических моделей СМО. По такой же методике построено довольно большое количество математических моделей различных СМО [12,13,14, …]. Общими особенностями таких моделей является допущение о пуассоновском характере потоков, изменяющих состояние СМО, и установление их характеристик применительно к установившемуся режиму.
Несмотря на то, что такими моделями охвачен достаточно большой класс систем, допущение о характере потоков сужает сферу моделирования. Более широкими возможностями обладает метод статистического моделирования. Такой метод является алгоритмическим.
В заключении отметим, что на базе рассмотренных СМО строятся достаточно сложные конструкции, называемые сетями СМО.
4.6. Другие виды математических схем
– агрегаты
- сети Петри
5. Общие вопросы математического моделирования систем
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.