Моделирование систем: Учебное пособие (Структуры функциональных математических моделей систем. Общие вопросы математического моделирования систем), страница 23

         4.5.  Непрерывно-вероятностные модели

В рамках данного раздела рассмотрим два вида моделей:

-  марковские цепи с непрерывным временем,

-  системы массового обслуживания (СМО).

        Марковские цепи с непрерывным временем.

В предыдущем пункте были рассмотрены марковские цепи с дискретными состояниями с дискретным временем. В такой математической схеме предполагается, что случайный переход системы из состояние в состояние осуществляется  только в заранее определенные, фиксированные моменты времени.

На практике значительно чаще встречаются ситуации, когда переходы системы из состояние в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени, которые заранее указать невозможно. Типичным примером такого процесса является отказ   элемента радиоэлектронного устройства.

Для описания таких случайных может быть использована математическая схема, называемая марковской цепью с непрерывным временем или непрерывной в марковской цепью

При моделировании системы по такой схеме ставится следующая задача, определить для любого момента времени t вероятности состояний p₀(t), p₁ (t) ,.. p_n (t).

Для описания таких систем вводится понятие плотности вероятности перехода. Такая вероятность, обозначаемая символам l_ij , представляет собой предел отношения вероятности перехода системы за время At из состояния z_i , в состояние z_j , к длине промежутка времени Dt:

                                                    (4.18)

где Р_ij(Dt) - вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии z_i , за время Dt перейдет из него в состояние z_j , (плотность вероятностей перехода определяется только для j ¹ i ).

Из формулы (4.18) следует, что при малом Dt вероятность перехода Р_ij(Dt) (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна  l_ij ×Dt

Р_ij(Dt) » l_ij ×Dt .

Если все плотности перехода l_ij не зависят от t, то марковский процесс называется однородным.

Для описания непрерывной марковской цепи используется так называемый размеченный граф состояний. Он представляет собой граф состояний системы, на каждой стрелке (на направленной дуге или ребре) которого указаны плотности вероятности перехода. ( В отличие от графа переходов в дискретной марковской цепи у такого графа отсутствуют "петли", символизирующие возврат в то же состояние)

Зная размеченный граф состояний можно определить вероятности состояний p₀(t),

p₁(t), p₂(t),..., p_n(t) как функции времени. Такие вероятности удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, называемыми уравнениями Колмогорова.

Система уравнений строится на базе размеченного графа состояний по следующему правилу.

В девой част каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Веди стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак "минус"; если в состояние, то знак "паюс". Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода . соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходят стрелка.

Дальнейшее решение систем таких уравнений с учетом заданных начальных условий позволяет найти искомые зависимости p₁(t), p₂(t),..., p_n(t) и описать тем самым поведение стохастической системы.                             

Системы массового обслуживания.

Системы массового обслуживания представляют математические схемы, с помощью которых описывается широкий класс систем, осуществляющих процесс обслуживания.

В качестве процесса обслуживания могут быть рассмотрены различные по своей природе процессы функционирования технических, экономических, производственных , организационных и других систем. Типичными примерами объектов, описывающихся как  системы массового обслуживания, являются телефонные станции, автозаправочные станция, билетные кассы, парикмахерские, магазины.