Моделирование систем: Учебное пособие (Структуры функциональных математических моделей систем. Общие вопросы математического моделирования систем), страница 21

Используя два введенных множеств можно сказать, что в конечном автомате осуществляется однозначное отображение каждого элемента множества G в определенныйэлемент множества F. Такое отображение G® F определяется совокупным действием функций j и y.

В вероятностном автомате последнее отображение осуществляется неоднозначно, а именно, каждый из элементов множества  G может отобразиться в любой  элемент множества F. В вероятностном автомате такое отображение для каждого элемента описывается с помощью некоторого закона распределения вероятностей. Такой закон определяет набор значений вероятностей отображение некоторого элемента множества G в каждый из элементов множества F. Будем, в соответствии с [3] говорить, что каждый элемент множества G  индуцирует  на множестве F некоторый закон распределения 

Пример: пусть множество G состоит из следующих шести элементов

(x₁, z₁) ,  (x₂, z₁) , ( x₃, z₁) , (x₁, z₂) , (x₂, z₂) , ( x₃, z₂) ,  а  множество Ф - из четырех элементов

(z₁, y₁) , (z₁, y₂) , (z₂, y₁) , (z₂, y₂).

( При этом  i=1,2,3 ;  s=1,2 ;  k=1,2  ;  j=1,2 ).

Изобразим условно элементы этих множеств на плоскости (рис. 4.3), а также покажем распределение, индуцируемое на множестве F  элементом (x₂ , z₂ ) :

     x_i                       G                            y_j              Ф

   i=3  · ----  ·               ·       b₁₂             

                                                         j=2 ·       ·          ·

   i=2   · ----  ·               ·           b₂₂

                                               b₁₁     j=1  ·       ·          ·                             

   i=1   · ----  ·               ·          

                                                   b₂₁

s=1            s=2        z_S                                   k=1            k=2                 z _k

(x₂,z₂)

                                                  Рис. 4.3

На рис. 4.3 символами   b₁₁ , b₁₂  , b₂₁ и   b₂₂  обозначены вероятности отображения элемента  (x₂ , z₂ )  в соответствующие четыре элемента множества F. (При этом  b₁₁+ b₁₂+ b₂₁+ b₂₂=1).

Очевидно, что число различных распределений в вероятностном автомате равно числу элементов множества G. Таким образом, P-автомат задается набором трех множеств и   совокупностью законов распределений, обозначаемых символом B:

P = < X ,Y, Z , B >.

При моделировании процесса функционирования вероятностного автомата необходимо, при известном начальном состоянием и входном слове, осуществлять на каждом такте шаге случайные “эксперименты” в соответствии с известными законами распределения.  В результате такого моделирования (при последовательном увеличении k=0,1,2,.. ) будет получена одна из реализаций случайного процесса функционирования P-автомата.

Отметим, что существуют частные случаи вероятностных автоматов, у которых одна из компонент двумерного множества F определяется детерминированно. С другими вопросами моделирования вероятностных автоматов можно ознакомиться в [3]. 

         Математическая схема “Дискретная марковская цепь”

Прежде всего, отметим, что с помощью данной схемы моделируется некоторая стохастическая система. Она характеризуется двумя особенностями: 1) система имеет конечный набор возможных состояний,  2) переход системы из состояния в состояние осуществляется случайным образом и подчиняется статистическим закономерностям. Изменение состояний такой системы во времени рассматривается как случайный процесс.

Случайный процесс функционирования системы называется марковским при условии, что вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от предыстории системы. (Марков А.А- известный русский математик).