Моделирование систем: Учебное пособие (Структуры функциональных математических моделей систем. Общие вопросы математического моделирования систем), страница 10

2.2.4.  Модель  “входы”- “состояния”- “выходы”

Такая модель отражает зависимость между “входами”, “состояниями” и “выходами” системы и называется в [7] общей моделью динамики системы.

Модель учитывает три множества и два отображения и имеет вид:

X  ^s® Z  ^h®  Y  .                                                          (2.3)

Отображение h описывает связь между состоянием системы и выходами системы (точнее, отображает значения компонент вектора состояния системы в момент времени t в значения компонент вектора выходных характеристик системы в тот же момент времени) т.е.

Y(t) = h (t, Z (t) ) .                                                          (2.4)

Такое отображение называется отображением выхода или оператором выходов системы.

Отображение  s  описывает связь между входами и состоянием системы. Характерная особенность такого отображения состоит в том, что входы описываются не для одного текущего значения времени t, а для некоторого интервала времени, непосредственно предшествующего этому моменту времени  Dt = [ t_н , t] , где t_н – некоторый начальный момент времени  ( t_н < t ).

Соответственно, при этом рассматривается не отдельное значение X(t), а совокупность таких значений на интервале Dt , обозначаемая символом X(*), и называемая отрезком реализации входа. Отображение s задается следующим образом:

Z(t) = s (t_н, t, Z (t_н) , X(*)) .                                                      (2.5)

Такое отображение называется  переходным отображением или оператором переходов системы (в новое состояние).

З а м е ч а н и е 2.15  Смысл введения интервала Dt и отрезка реализации входа X(*) состоит в необходимости учета того, что поведение некоторых систем может зависеть от предыстории процесса функционирования такой системы. Формально это означает, что для определения значения Z(t) в момент t необходимо знать некоторое предыдущее состояние Z (t_н)  и отрезок реализации входа на интервале Dt.

2.2.5  Модель “входы”- “собственные параметры”- “выходы”.

Модели этого вида связывают входы системы, собственные параметры и выходы системы. Такая модель называется законом функционирования  системы.

Рассматриваемая модель имеет вид

Y(t) = Y( t, X(t), H ) .                                                        (2.6)

Такая модель может быть получена из полной аналитической модели (2.2) путем исключения из нее вектора состояния системы (путем “подстановки” первой группы соотношений во вторую).

Отличие такой модели от модели черного ящика состоит в том, что в ней фигурируют параметры системы, отражающие сведения о системе.

2.2.6   Другие виды моделей систем

В данном подпункте рассмотрим еще два вида моделей систем.

Особенностью первого вида моделей является наличие в них помимо вектора состояния системы Z(t) вектора, компонентами которого являются производные функций, входящих в состав этого вектора. Будем в дальнейшем означать вектор производных первого порядка символом Z¢(t).    

В наиболее общем случае рассматриваемые модели  имеют неявную форму вида

F( t, X(t), H, Z₀, Z (t), Z¢(t) ) = 0 .                                          (2.7)

В случае, если компоненты вектора Z¢(t) можно явно выразить в виде совокупности зависимостей от других компонентов модели, то модель вида (2.7) может быть представлена в виде 

Z¢(t) = W( t, X(t), H, Z₀, Z (t)) .                                             (2.8)      

Частным случаем модели (2.8) является модель вида              

Z¢(t) = W( t, H, Z₀, Z (t)) ,                                                  (2.9)

описывающая системы, не испытывающие внешних воздействий. (Такие системы называются также автономными или изолированными).

Модели (2.7)…(2.9) представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.  (Такие системы будут также рассмотрены в п.4.2).