Характеристики детерминированных сигналов. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний, страница 9

1.  При  автокорреляционная функция положительна и имеет наибольшее значение.

2.  Автокорреляционная функция является чётной функцией временного сдвига :

. Поэтому знак минус перед  в выражении (87) можно изменить на плюс, записав

.                                                (93)

На рис. 17 а, показано построение корреляционной функции для прямоугольного импульса.

Рис. 17 а

Сдвинутый на время  ( в сторону опережения)сигнал  показан на рис. 17 б, а произведение  - на рис. 17 в. Каждому значению  соответствует своё произведение , а площадь, ограниченная функцией , даёт ординаты корреляционной функции

.

График функции  представлен на рис. 17 г.

17 б

17 в

17 г

Энергия периодического сигнала равна бесконечности, поэтому его энергетические свойства характеризуются мощностью, т.е. отношением энергии за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка. Аналогично определяется и автокорреляционная функция периодического сигнала:

,                                        (91)

где Т – период функции .

Важную роль играет связь между энергетическим спектром  и автокорреляционной функцией .

Подставляя в выражение (90) сигнал  в виде обратного преобразования Фурье, получим

.     (92)

Следовательно, автокорреляционная функция  является обратным преобразованием Фурье от энергетического спектра .

Прямое преобразование Фурье от автокорреляционной функции сигнала определяет его энергетический спектр

.                                                                           (93)

Выражения (91) и (92), устанавливающие связь между автокорреляционной функцией и его энергетическим спектром, называются соотношениями Винера-Хинчина.

Кроме автокорреляционной функции можно определить также взаимно корреляционную функцию

.                                     (94)

Взаимно корреляционная функция характеризует взаимную связь между значениями двух вещественных сигналов.

Когда  и  - один и тот же сигнал, то взаимно корреляционная и автокорреляционная функции совпадают.

Максимум взаимно корреляционной функции двух одинаковых сигналов имеет место при . Для различных сигналов  и  максимум функции может достигаться не при .

Построение взаимно-корреляционной функции для двух сигналов  и  приведено на рис. 18. Исходное положение сигналов  изображено на рис. 18a. При сдвиге сигнала  влево  корреляционная функция сначала возрастает, затем убывает до нуля при . При сдвиге вправо  корреляционная функция сразу убывает. В результате получается асимметричная относительно оси ординат функции .

    Рис. 18

1.8. Дискретизованные сигналы

Процедуру дискретизации (взятие отчётов), осуществляемую с помощью электронного ключа, можно рассматривать как умножение функции аналогового сигнала  на вспомогательную функцию  (см. рис. 19):

,                                                                                        (95)

где  - периодическая последовательность прямоугольных тактовых импульсов, имеющих длительность  и период повторения Т, равный шагу дискретизации .

Рис. 19

Спектральную плотность исходного аналогового сигнала  будем считать заданной.

Представим периодическую функцию  в виде ряда Фурье, в котором скважность импульсов , а  - частота повторения импульсов :

.                                        (96)

Подставим это выражение в формулу (95):

.                          (97)

Спектр дискретного сигнала  равен

Первому слагаемому в правой части выражения (97)  соответствует спектр  исходного аналогового сигнала, а каждому из произведений

 - спектр .

Следовательно, искомый спектр

.                                        (98)

Графики функций  и  при шаге дискретизации  представлены на рис. .20.

Рис. 20

Спектр  дискретизованного периодического сигнала представляет собой последовательность спектров  исходного аналогового сигнала , сдвинутых один относительно другого на частоту  и убывающий по закону .