Физика \ Основы электроники и радиотехники

Характеристики детерминированных сигналов. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний, страница 11

График такой импульсной функции приведен на рис. 22. Параметр , равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ фильтра , определяет задержку во времени максимума функции . Ясно, что данная модель фильтра тем точнее отображает свойства физически реализуемой системы, чем больше величина задержки во времени .

Рис. 22

Рассмотрим случай, когда на вход рассматриваемого фильтра поступает напряжение импульса прямоугольной формы с амплитудой , действующего в пределах времени от до (рис. 23).

Рис. 23

Спектр одиночного прямоугольного импульса на основании теоремы сдвига времени равен

Спектр сигнала на выходе фильтра

В соответствии с формулой обратного преобразования Фурье имеем

(110)

Введя обозначения и , получим

Следовательно,

, (111)

где и .

1.11. Сигналы на выходе идеального полосового фильтра

Связь между полосой пропускания идеального полосового фильтра и временем установлением сигнала. Рассмотрим случай, когда на вход идеального полосового фильтра с передаточной функцией, показанной на рис. 24 a, поступает высокочастотное колебание, огибающая которого имеет вид прямоугольного импульса (рис. 24 b).

a/ b/

Рис. 24

Пусть несущая частота высокочастотного колебания совпадает со средней частотой полосового фильтра .

Можно показать, что огибающая высокочастотного колебания на выходе полосового фильтра совпадает с напряжением на выходе фильтра нижних частот, имеющего граничную частоту . Поэтому амплитуда высокочастотного напряжения на выходе полосового фильтра

. (112)

Огибающую прямоугольного радиоимпульса можно рассматривать как сумму двух огибающих (рис. 25).

Рис. 25

Полагая в (112) , получим

Обозначая , имеем

. (113)

Изменение огибающей высокочастотного на выходе идеального полосового фильтра при включении высокочастотного напряжения на его входе показано на рис. 26.

Рис. 26

Найдём время установления амплитуды от уровня 0,1 до уровня 0,9 установившегося значения . Как видно из рис. 26,

, откуда следует, что время установления

, (114)

где - полоса пропускания полосового фильтра.

Связь между полосой пропускания идеального полосового фильтра и максимальной амплитудой выходного импульса. Выражение (112) для амплитуды радиоимпульса на выходе идеального полосового фильтра можно представить в следующем виде

, (115)

где ; ; .

Для определения максимального значения амплитуды выходного напряжения необходимо найти значение z, при котором .

Дифференцируя по z решая относительно z уравнение, получим

, находим .

Подставляя это значение в (115), получим

. (116)

При малых значениях можно полагать, что . Тогда

. (117)

Следовательно, при очень узкой полосе пропускания идеального полосового фильтра амплитуда радиоимпульса на его выходе пропорциональна его полосе пропускания.

1.11. Теорема Котельникова

В теории и практике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчётов): если наивысшая частота в спектре функции сигнала меньше, чем , т.е. на частотах >, то функция полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на шаг секунд.