Физика \ Основы электроники и радиотехники

Характеристики детерминированных сигналов. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний, страница 4

Прямоугольные периодические униполярные импульсы. В радиотехнике находят широкое применение прямоугольные периодические импульсы напряжения, изображённые на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Такие импульсы применяются, например, в радиоизмерительной технике, телевидении и радиолокации. Длительность импульсов может измеряться микросекундами или долями микросекунд, а иногда и долями наносекунд. Период следования импульсов T может в сотни и тысячи раз превышать длительность импульсов. Отношение называется скважностью импульсов.

Для периодической последовательности прямоугольных импульсов напряжения имеем ,

uде . (41)

Здесь .

Следовательно,

. (42)

Амплитудный спектр импульса показан на рис. 1.5

Рис. 1.5

1.4. Гармонический анализ непериодических сигналов

Интеграл Фурье. Если периодическую функцию времени можно представить рядом Фурье, состоящим из суммы гармонических составляющих, то непериодическую функцию времени можно представить интегралом Фурье при выполнении определённых условий.

Не строгим, но наглядным является представление об интеграле Фурье как о предельной форме ряда Фурье при стремлении периода функции Т к бесконечности. В самом деле, при увеличении периода Т расстояние вдоль оси частот между гармониками ряда, равное , сокращается и линейный спектр в пределе становится непрерывным.

Достаточным, но не необходимым условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функции, т.е. конечность интеграла .

Пусть - одиночный импульсный сигнал конечной длительности (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени T, получим периодическую последовательность (рис. 1.7), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье

(43)

с коэффициентами

, где .

Подставив формулу коэффициента в (43), получим

. (44)

Для перехода от периодического сигнала к исходному непериодическому сигналу , заданному в промежутке , устремим к бесконечности период повторения Т. Тогда расстояние между спектральными линиями спектра , равное основной частоте становится бесконечно малым, т.е. , но для фиксированной частоты

значение остаётся неизменным (частота фиксируется за счёт соответствующего увеличения n при увеличении Т).

Другими словами спектр становится сплошным, поэтому можно в выражении (44) заменить на , на текущую частоту , а операцию суммирования - операцией интегрирования.

Следовательно, приходим к двойному инте6гралу Фурье

. (45)

Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты ,

, (46)

называется спектральной плотностью или спектром функции .

В общем случае, когда пределы и не заданы, спектральная плотность записывается в следующем виде:

. (47)

После подстановки (47) в выражение (45) получим

. (48)

Выражения (47) и (48) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражения (47) и (22) отличаются только множителя . Поэтому, спектральная плотность обладает всеми основными свойствами коэффициентов ряда Фурье. Используя формулу Эйлера можно написать