Физика \ Основы электроники и радиотехники

Характеристики детерминированных сигналов. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний, страница 5

С помощью выражения (48) легко получить тригонометрическую форму преобразования Фурье:

Из чётности модуля и нечётности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является чётной, а во втором – нечётной относительно . Следовательно, второй интеграл равен нулю, и окончательно получим

. (53)

Переход от комплексной формы (48) к тригонометрической (53) целесообразен в конце анализа. Все промежуточные расчёты при применении интеграла Фурье удобнее и проще проводить на основании комплексной формы (53).

Проведём сравнение спектров периодической последовательности импульсов и одиночного импульса этой последовательности (рис. 1.6 и рис. 1.7). Для этого рассмотрим выражение (44), из которого следует

. (54)

Здесь - значение спектральной плотности одиночного импульса на частоте , а - частота следования импульсов.

Комплексная амплитуда n-й гармоники спектра периодического сигнала

. (55)

Следовательно, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая дискретного спектра периодической последовательности импульсов, полученной путём повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются лишь масштабом. Это свойство позволяет найти коэффициенты ряда Фурье по спектральной плотности одиночного импульса с помощью формулы (2.58).

Модуль спектральной плотности одиночного импульса и дискретный (линейчатый) спектр периодической последовательности этих же импульсов приведены на рис. 1.8 и рис. 1.9.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

На этом рисунке огибающая дискретного спектра изображена штриховой линией.

С увеличением периода Т спектральные линии на рис. 10 сближаются и коэффициенты ряда уменьшаются, так, что отношение остаётся постоянным. В пределе, когда приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью

. (56)

Из полученного выражения следует, что спектральная плотность - амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на 1 Гц в бесконечной узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту .

1.4.Основные свойства преобразований Фурье

Формулы прямого и обратного преобразований Фурье устанавливают однозначное соответствие между сигналом и его спектром . Основные свойства преобразований Фурье, рассматриваемые ниже, позволяют получить исчерпывающее представление об этом соответствии и облегчают использование спектральных преобразований при решении практических задач.

Сдвиг сигнала во времени. Пусть сигнал (рис. 1.10), обладающий спектром , задержан на время (при сохранении его формы).

Рис. 1.10

Спектр задержанного сигнала

Вводя новую переменную интегрирования , получаем

. (57)

Таким образом, сдвиг сигнала по времени на эквивалентен изменению фазового сдвига составляющих спектра на величину .

Справедливо и обратное утверждение: дополнительный сдвиг всех составляющих спектра на величину эквивалентен запаздыванию сигнала на время.

Изменение масштаба времени. Пусть сигнал со спектром подвергся сжатию во времени (рис. 1.11). Новый сжатый сигнал (штриховая кривая на рис .11) связан с исходным сигналом соотношением ,где > 1. (58)