Характеристики детерминированных сигналов. Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний, страница 6

Таким образом, уменьшение длительности импульса любой формы в  раз сопровождается расширением его спектра во столько же раз и наоборот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в  раз и наоборот.

Взаимная обратимость частоты и времени. Обращаясь формулам (47) и (48), определяющим прямое и обратное преобразования Фурье, замечаем, что они обладают существенной симметрией.

Запишем преобразования Фурье в строго симметричной форме:

       и       .

Заменяя f на t, а t на f в выражении , получаем

, что эквивалентно выражению , за исключением знака в показателе экспоненты.

На этом основании приходим к следующему виду: если сигнал  имеет спектр , то сигналу  соответствует спектр .

Сложение сигналов и спектров. Из линейности прямого преобразования Фурье следует, что сигнал

,                                                  (60)

являющийся суммой сигналов, имеет спектр

.                                        (61)

Умножение сигналов и спектров. Пусть рассматриваемый сигнал является свёрткой двух сигналов:

.                                                  (62)

Спектр такого сигнала

.

Изменив порядок интегрирования, получим

.                                                                                        (63)

Следовательно, спектр свёртки двух сигналов равен произведению их спектров.

Вследствие взаимной обратимости частоты и времени спектр сигнала, равный произведению двух сигналов

,                                                                                     (64)

представляет собой свёртку их спектров

.                                      (65)

Дифференцирование и интегрирование. Пусть , тогда

 

, откуда .                                                                            (66)

Итак, дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на величину . При дифференцировании подчёркиваются (увеличиваются) высокочастотные составляющие спектра сигнала.

Пусть , тогда .

Используя, выражение (66) имеем

,

откуда .                                                                            (67)

Следовательно, интегрирование сигнала эквивалентно делению его спектра на величину . При интегрировании высокочастотные составляющие спектра сигнала ослабляются в большей степени, чем низкочастотные.

Необходимо, отметить, что в отличие от операции дифференцирования операция интегрирования законна только для сигналов, удовлетворяющих условию , т.е. для сигналов с нулевой площадью.

1.5. Энергетический спектр и спектр мощности непериодического сигнала.

Представление об энергетическом спектре непериодического сигнала связано с энергией Э, выделяющейся в сопротивлении 1Ом, на котором действует напряжение сигнала .

Энергия сигнала

.                                                                                          (68)

Этот интеграл конечен, в частности, для сигналов, заданных на конечном интервале времени. Для сигналов, не обращающихся в нуль на бесконечности, интеграл расходится и энергия бесконечно велика. Поэтому применительно к сигналам говорят не об энергии, а о мощности, энергии, рассеиваемой в единицу времени.

Используя прямое и обратное преобразования Фурье (47) и (48), энергию сигнала можно записать в следующем виде:

.                          (69)

Здесь  - энергетический спектр сигнала конечной длительности. Её значение на частоте  равно энергии сигнала, приходящейся на полосу в 1 Гц, вблизи частоты .

Соотношение (69) называется равенством Парсеваля. Оно утверждает, что энергия, содержащаяся в сигнале , равна сумме энергий всех составляющих его спектра.

Соотношение, аналогичное (69), можно написать и для мощности сигнала Р:

,                                                                (70)

где  - спектр мощности сигнала.

Мощность непериодического сигнала, не удовлетворяющего условию абсолютной интегрируемости, можно определить как

.