Навигационные системы. Часть 1. Гироскопические приборы и устройства навигационных систем: Учебное пособие, страница 8

Таким образом, получен результат, который на первый взгляд кажется парадоксальным: вращение раскрученного обода вокруг оси         x₁ приводит к возникновению момента с его стороны, действующего вокруг оси y₁, перпендикулярной  x₁. Однако нетрудно обнаружить, что этот результат находится в полном соответствии с предыдущими. Действительно, колесо, воздействуя на опору (ось)  с моментом М_г, вызывает реакцию в виде момента М'_г, равного по величине М_г и противоположно ему направленного. Именно под действием этого момента в соответствии со вторым свойством гироскоп (колесо) и прецессирует вокруг x₁ с угловой скоростью . Из изложенного, в частности, следует, что для того, чтобы раскрученный обод заставить вращаться вокруг оси x₁, необходимо лишить его возможности вращаться вокруг оси y₁ (в противном случае колесо просто развернется вокруг этой оси, совместив ось собственного вращения с направлением  , т.е. с осью x₁).

Момент М_г, определяемый в рассмотренном частном случае формулой (22), называется    гироскопическим моментом. Он, как следует из изложенного, является инерционным моментом, обусловленным кориолисовым ускорением.

Для нахождения гироскопического момента в общем случае поступим следующим образом. Пусть  - внешний момент, под действием которого гироскоп прецессирует с угловой скоростью .

Из основного равенства (3)

, с учетом того, что

, вытекает

.                                                                                  (23)

Но, как известно из курса теоретической механики, производная орта z^o, вращающегося с угловой скоростью  , равна

.                                      

Тогда (23) принимает вид

или

.                  

Наконец, поскольку , для гироскопического момента получаем следующую формулу

.

Эта формула в частном случае, когда перпендикулярен, совпадает с ранее полученной формулой (22).

Изложенное позволяет сформулировать  третье  основное свойство гироскопа: при вращении оси гироскопа с угловой скоростью     возникает приложенный к опорам гироскопа гироскопический момент,  равный

          ,                                                                           (24)

где   - вектор кинетического момента гироскопа.

Как следует из формулы для , этот момент стремится совместить по кратчайшему пути вектор кинетического момента гироскопа с направлением скорости вращения оси гироскопа (правило Фуко).

Следует отметить, что величины гироскопических моментов могут быть весьма велики. Это обусловливает необходимость их учета при расчете и подборе опор для быстро вращающихся роторов (двигатели, турбины и т.п.), размещаемых на подвижных объектах. Гироскопические моменты могут создаваться и специально для осуществления управления объектами, о чем будет сказано ниже.

В заключение данного раздела, используя понятие гироскопического момента, рассмотрим принцип Д’Aламбера применительно к гироскопу. Как известно, принцип Д’Aламбера является эффективным методом решения задач динамики механических систем, давая возможность составлять уравнения движения систем в форме уравнений равновесия, т.е. используя принципы статики. Достигается это введением фиктивных (т.е. реально не существующих) сил инерции. Согласно принципу Д’Aламбера сумма всех сил (моментов), приложенных к системе, и сил инерции (инерционных моментов) равна нулю. Так, если тело с массой m движется с ускорением  , испытывая действие силы , то уравнение его движения можно записать в виде

                                                             где  - сила инерции. Если тело с моментом инерции J относительно оси вращается вокруг нее с ускорением ,  испытывая действие  момента   относительно оси, то уравнение его движения можно записать в виде

                                                                          (25)

где    - инерционный момент.

Для записи принципа Д’Aламбера применительно к гироскопу используем основное равенство (3)