Общие сведения и классификация измерений. Погрешности измерений. Необходимое число измерений. Порядок операций при обработке экспериментальных данных прямых измерений. Построение планов полного факторного эксперимента. Свойства матриц планирования, страница 5

Приведем примеры пользования результатами таблицы. Пусть для некоторого ряда измерений получили  =20, σ =2. Какова вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за пределы, определяемые равенством 17 < х_i < 23? Доверительные границы равны ± 3, что составляет в долях σ -1,5. Из таблицы 3.1 находим, что доверительная вероятность для ε = 1,5 равна 0,87. Иначе говоря, 87% всех измерений уложится в интервал погрешности ± 3 .

Сформулируем вторую задачу, какой доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы 99% результатов попала в него? По таблице 3.1 находим, что значению α =0,99 соответствует значение ε =2.6, следовательно, доверительный искомый интервал равен Δх = ε*σ  = 2,6* 2=5,2.

Таким образом, для нахождения случайной погрешности нужно определи  два числа - доверительный интервал /величину погрешности/ и доверительную вероятность. Средней квадратичной погрешности σ соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной погрешности 2σ - доверительная вероятность 0.95; утроенной /Зσ/ - 0.997.

Приведенные три значения α полезно запомнить, так как обычно в литературе дается значение средней квадратичной погрешности и не указывается соответствующая ей доверительная вероятность.

Наряду со среднеквадратичной погрешностью иногда используется погрешность среднеарифметическая, вычисляемая по формуле

;       

При большом числе наблюдений r_п и S_П существуют простые соотношения

S_П =1.25 r_П;         r_П  = 0.80 S_П

Известным преимуществом средней арифметической погрешности является сравнительно простой способ ее вычисления. Если пользоваться средней арифметической погрешностью и при малой n, то правильнее ее вычислять по соотношению

СЛОЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Предположим, что измеряемая величина Z является суммой /или разностью/ двух величин Х и Y, результаты измерений которых независимы. Тогда, если , - дисперсия величин Х и Ү, то дисперсия измеряемой величины   будет равна

  =+   или    =

Если Z является суммой не двух, а большего числа слагаемых - закон сложения погрешностей будет таким же.

Таким образом, средняя квадратичная погрешность суммы /ила разности/ нескольких независимых величин равна корню квадратному, из суммы дисперсий отдельных слагаемых. Необходимо твердо помнить, что для нахождения суммарной погрешности нужно складывать не сами погрешности, а их квадраты и извлечь квадратный корень.

Из закона сложения погрешностей следует два важных вывода. Первый из них относится к роли каждой из погрешностей в общей погрешности результата. Поясним сказанное на примере: пусть Х и Y два слагаемых, определенных со средней квадратичной погрешностью   и , причем  в два раза  меньше. Тогда ошибка суммы будет

  =+=+;     

Иначе говоря, если одна из ошибок в два раза меньше другой, то общая погрешность возросла за счет меньшей из погрешностей всего на 10%. Это означает, что если необходимо повысить точность измерения величины Z, то нужно в первую очередь стремиться уменьшить ту погрешность измерения, которая больше. Если оставить точность измерения Х неизменной, то, как бы мы не повышали точность измерения Y, погрешность конечного результата не удастся уменьшить более чем на 10%. Этот вывод нужно иметь в виду и при повышении измерений в первую очередь уменьшать погрешность, имеющую наибольшую величину.

Второй вывод, вытекающий из закона сложения погрешностей, относится к определению погрешности среднего арифметического. Среднее арифметическое оточено меньшей ошибкой, чем результат каждого отдельного измерения. Покажем это. Пусть х₁,х₂,…,х_n - результаты отдельных измерений, каждое из которых характеризуется дисперсией σ². Среднее арифметическое всех измерений можно представить в виде

В соответствии с законом сложения погрешностей дисперсию величины Y можно найти как

Но Y и есть среднее арифметическое из всех величин х_i, поэтому