Для оценки величины случайной погрешности измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной погрешности ее часто называют, сокращено стандартом измерений. Средней квадратичной погрешностью называется величина
где - среднее арифметическое значение; хi - результаты каждого измерения; n - число равноточных измерений.
Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина SП стремится к некоторому постоянному - значению
Именно этот предел и называется средней квадратичной погрешностью. Квадрат этой величины называется дисперсией измерения, это та же величина, которая входит в формулу Гаусса.
Относительная величина средней квадратичной погрешности, выраженная в процентах, называется коэффициентом вариации
%
Наряду с нормальным законом распределения погрешностей иногда встречаются другие типы распределения. Так, например, возможен случай, когда равновероятно появление погрешности любой величины внутри некоторого интервала, а за его пределами вероятность появления погрешности равна нулю. В дальнейшем будем рассматривать только нормальный закон распределения погрешностей.
Если истинное значение доверяемой величины х0, погрешность измерения этой величины –Δx ,а среднее арифметическое - и α вероятность того, что результат измерений х отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δx , то можно записать
Р (- Δх <х – < Δх) = α
или
Р ( - Δх < х < + Δх) = α
Вероятность α носит название доверительной вероятности или коэффициента надежности. Интервал значений от + Δх до - Δх называется доверительным интервалом.
Записанное выражение означает, что с вероятностью α результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от + Δх до – Δх. Разумеется, чем большей надёжности мы требуем, тем большим получается соответствующий доверительный интервал. Таким образом, мы пришли к очень важному выводу: для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа - величину самой погрешности /или доверительного интервала/ и величину доверительной вероятности. Указание только величины погрешности в значительной степени лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные.
Удобство применения стандартной ошибки в качестве численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соответствует определенная доверительная вероятность равная 0,68 /естественно, при нормальном законе распределения погрешностей/. Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана доверительная вероятность. Результаты вычислений сведены в таблицу 3.1.
Таблица 3.1
Доверительная вероятность для нормального распределения
0 |
0 |
1.2 |
0.77 |
2.6 |
0.99 |
0.05 |
0.04 |
1.3 |
0.80 |
2.7 |
0.993 |
0.1 |
0.08 |
1.4 |
0.84 |
2.8 |
0.995 |
0.15 |
0.12 |
1.5 |
0.87 |
2.9 |
0.996 |
0.2 |
0.16 |
1.6 |
0.89 |
3.0 |
0.997 |
0.25 |
0.24 |
1.7 |
0.91 |
3.1 |
0.9981 |
0.4 |
0.31 |
1.8 |
0.93 |
3.2 |
0.9986 |
0.5 |
0.38 |
1.9 |
0.94 |
3.3 |
0.999 |
0.6 |
0.45 |
2.0 |
0.95 |
3.4 |
0.9993 |
0.7 |
0.51 |
2.1 |
0.964 |
3.5 |
0.9995 |
0.8 |
0.57 |
2.2 |
0.972 |
3.6 |
0.9997 |
0.9 |
0.63 |
2.3 |
0.978 |
3.7 |
0.9998 |
1.0 |
0.68 |
2.4 |
0.984 |
3.8 |
0.99986 |
1.1 |
0.73 |
2.5 |
0.988 |
3.9 |
0.9999 |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.