Общие сведения и классификация измерений. Погрешности измерений. Необходимое число измерений. Порядок операций при обработке экспериментальных данных прямых измерений. Построение планов полного факторного эксперимента. Свойства матриц планирования, страница 4

Для оценки величины случайной погрешности измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной погрешности ее часто называют, сокращено стандартом измерений. Средней квадратичной погрешностью называется величина

где  - среднее арифметическое значение; хi - результаты каждого измерения;  n - число равноточных измерений.

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина SП стремится к некоторому постоянному - значению

Именно этот предел и называется средней квадратичной погрешностью. Квадрат этой величины называется дисперсией измерения, это та же величина, которая входит в формулу Гаусса.

Относительная величина средней квадратичной погрешности, выраженная в процентах, называется коэффициентом вариации

%

Наряду с нормальным законом распределения погрешностей иногда встречаются другие типы распределения. Так, например, возможен случай, когда равновероятно появление погрешности любой величины внутри некоторого интервала, а за его пределами вероятность появления погрешности равна нулю. В дальнейшем будем рассматривать только нормальный закон  распределения погрешностей.

Если  истинное значение доверяемой величины х0, погрешность измерения этой величины –Δx ,а среднее арифметическое -  и α вероятность того, что результат измерений х отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δx , то можно записать

Р (- Δх <х –  < Δх) = α

 или

Р ( - Δх < х <  + Δх) = α

Вероятность α носит название доверительной вероятности или коэффициента  надежности. Интервал значений от  + Δх до  - Δх называется доверительным интервалом.

Записанное выражение означает, что с вероятностью α результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от  + Δх  до  – Δх.  Разумеется, чем большей надёжности мы требуем, тем большим получается соответствующий доверительный интервал. Таким образом, мы пришли к очень важному выводу: для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа - величину самой погрешности /или доверительного интервала/ и величину доверительной вероятности. Указание только величины погрешности в значительной степени лишено смысла, так как при этом  мы не знаем, сколь надежны наши данные.

Удобство применения стандартной ошибки в качестве численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соответствует определенная  доверительная  вероятность  равная  0,68 /естественно, при нормальном законе распределения погрешностей/. Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана доверительная вероятность. Результаты вычислений сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Доверительная вероятность для нормального распределения

0

         0  

1.2

0.77

2.6

0.99

0.05

       0.04

1.3

0.80

2.7

0.993

0.1

       0.08

1.4

0.84

2.8

0.995

0.15

       0.12

1.5

0.87

2.9

0.996

0.2

       0.16

1.6

0.89

3.0

0.997

0.25

       0.24

1.7

0.91

3.1

0.9981

0.4

       0.31

1.8

0.93

3.2

0.9986

0.5

       0.38

1.9

0.94

3.3

0.999

0.6

       0.45

2.0

0.95

3.4

0.9993

0.7

       0.51

2.1

0.964

3.5

0.9995

0.8

       0.57

2.2

0.972

3.6

0.9997

0.9

       0.63

2.3

0.978

3.7

0.9998

1.0

       0.68

2.4

0.984

3.8

0.99986

1.1

       0.73

2.5

0.988

3.9

0.9999