Волновые процессы в материальных средах: Учебное пособие, страница 14

Поверхностные пьезоэлектрические волны в слоистых тонкопленочных средах широко применяются в электроакустических устройствах. Используя материалы первой главы, проведем общий анализ и получим основные соотношения для волн, распространяющихся в слоистых тонкопленочных средах (рис. 14).

Рис. 14. Схема исследуемой структуры

Систему уравнений, которой должен подчинятся волновой процесс, представим в следующем виде:

для области I:

,                                                                                                    (41)

для области II (слоя)

                                                                                                    (42)

для области III:

во всех выражениях (42) следует произвести замену индексов II на III.

В каждой области должны также удовлетворяться уравнения Максвелла:

                                                                                                    (43)

Рассмотрим плоские поверхностные волны, распространяющиеся в направлении оси x₁, с экспоненциально затухающей амплитудой в направлении оси x₃. Смещение и компоненты напряженности электрического поля запишем в виде:

для области I:

                                                                                                    (44)

для области II:

                                                                                                    (45)

для области III:

                                                                                                    (46)

После преобразований, аналогичных сделанных в гл. 1, получим характеристические уравнения:

где

                                                                                                    (47)

и

Для области II и III возможны три формы характеристических уравнений, соответствующие типам волн, которые могут распространятся в среде в данном направлении:

                                                                                                    (48)

                                                                                                    (49)

где U^II соответствует выражению (21);  и  - частные случаи от U^II.

Для области III в выражениях (48) следует заменить индекс II на III.

Уравнение (48), как видно, может иметь две различные формы. Первая из них определяется равенством нулю коэффициентов  и определителей  и  и соответствует волне Рэлея и Сезава в слоистых системах.

Нулевые значения коэффициентов ,  и определителей  и  соответствуют нулевым механическим смещениям и электрическим полям, перпендикулярным направлению распространения, и определяют диапазон волн Лява.

Случай, соответствующий равенству нуля только определителей  (49) соответствует сложной трехкомпонентной поверхностной волне.

Электрические поля поверхностных волн в общем случае должны удовлетворять граничным условиям, таким, что касательные компоненты электрического поля, компонента электрического смещения, нормальная к поверхности, и продольная компонента магнитного поля должны быть непрерывны у границ областей:

У x₃=h

                                                                                                    (50)

У x₃=0

                                                                                                    (51)

Упругие граничные условия требуют, чтобы компоненты напряжений T₁₃, T₂₃, T₃₃, исчезали на свободной поверхности и были непрерывными на границе областей II и III. Кроме того, должны быть непрерывными и механические смещения U_i:

при x₃=h:                                                                                                            (52)

при x₃=0:                                                                                                            (53)

                                                                                                           (54)

5.2. Анализ трехкомпонентной поверхностной волны,
распространяющейся в слоистой структуре

Общими условиями существования такой волны является условие (49), т.е. |U^II|=|U^III|=0, и граничные условия (50)-(54).

Используя (36) для |U^II| и |U^III|, запишем характеристическое уравнение рассматриваемого случая поверхностных волн.

                                                                                                    (39)

Для получения нетривиального решения этого уравнения, потребуем равенства нулю его определителя |U|=0. Определитель |U| является ступенчатым и равен произведению его диагональных клеток: |U|=|U^II|·|U^III|.

Выражения |U^II| и |U^III| в общем виде являются уравнениями пятой степени относительно a² и b². Тогда выражения электрических полей и механических смещений запишем в форме (56):

                                                                                                    (56)

где i=1, 2, …, 10; l=1, 2, …, 5.

Обратимся к граничным условиям (50) – (54).

Подставив выражение  из (44),  и  из (56) и  из (42) в (50) и, учитывая значение x₃=h, получим

                                                                                                    (57)

                                                                                                    (58)

                                                                                                    (59)

Подставив в (59) значение  из (30) и учитывая  в форме (57), получим

                                                                                                    (60)

Рассмотрим граничные условия (51). Подставив выражения для компонент напряженности электрического поля из (56) в (51) и учитывая значение x₃=0, имеем

                                                                                                    (61)

                                                                                                    (62)

Выражения для  и  запишем из (59), исключив из них член . Далее сделаем соответствующую замену обозначений амплитудных коэффициентов и констант затухания для области III. Сократив слева и справа множители exp(ia_jkh) и exp(ib_λkh), получим